48 Предел функции в точке.
Пусть функция
f(x)
определена на некотором множестве X.
Возьмем последовательность точек
,
сходящуюся в точке a.
Значения f(x)
в этих точках также образуют числовую
последовательность: f(
),
f(
),…,
f(
)
(1) Определение1. Число
А называется пределом функции f(x)
в точке а или пределом функции при х→а,
если для любой сходящейся к а
последовательности значение аргумента
х отличных от а соответствующая
последовательность значений функции
(1)сходится к числу А. Для обозначения
предельного значения функции используется
следующая символика:
f(x)
А. Функция f(x)
может иметь в точке а только одно
предельное значение, поскольку
последовательность f(
)
имеет только 1 предел.
49 Односторонние пределы
Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами
Число
называется правосторонним
пределом (правым
пределом, пределом
справа)
функции 
в
точке 
,
если для всякой последовательности 
,
состоящей из точек, больших числа
,
которая сама сходится к числу
,
соответствующая последовательность
значений функции 
сходится
к числу 
.
Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .[1]
50. Теорема о пределах функций.
Теорема. Пусть
функции f(x)
и g(x)
имеют в точке а пределы, равные
соответственно А и В. Тогда функции
f(x)
,
f(x)*g(x)
и
(при В≠0) имеют соответственно в точке
а пределы, равные А
,
А*В и
.
Док-ство: Воспользуемся
определением предела по Гейне. Возьмем
произвольную последовательность {
}→а
(
)≠а.
Соответствующие последовательности
значений f(
)
и g(
)
по условию теоремы имеют в точке а
пределы А и В: Но тогда пределы
,
и
имеют пределы А
,
А*В и
.
Согласно определению по Гейне это означает, что:
1.Функция не может иметь более одного предела.
2.Предел алгебраической суммы (разности) конечного числа функций равен такой же сумме (разности) пределов этих функций:
А
3.Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
А*В
4.Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций:
51) Первый замечательный предел.
Предел функции
f(x)=
в точке х=0 существует и равен 1, т.е.
=1.
Доказательство: рассмотрим окружность радиусом R=1 →ОА=1.
Пусть х – угол,
отсчитываемый от единичного радиуса
ОА против часовой стрелки. Тогда 0<х<
.
Из треугольника ОВМ имеем sinx=
=МВ;
tgx=
.
Треугольник ОМА
содержится в секторе ОМА, а этот сектор
в треугольнике ONA.→sinx<x<tgx.
Разделим на sinx:
1<
<
.
→ cosx<
<1
(5)
Неравенство (5) будет справедливо и при - <х<0, поскольку содержит четные функции.
Из (5) получили 0<1- <1-cosx
Т.к. 1-cosx=2
<2|sin
|<2|
|<|x|
Поскольку 0<x< , то |x|=x → окончательно получим 0<1- <x (6)
Для любой последовательности →0 пределы левой и правой частей неравенства (6) равны 0. → =0.
Отсюда справедливость (4) доказана, т.е. =1.
При х→0 доказательство аналогично, предел (4) называется 1 замечательным пределом.
