59) Первая теорема Больцано-Коши.

Пусть функция f(x)непрерывна на отрезке [a;b], и на его концах имеет значения разных знаков. Тогда внутри [a;b] существует точка С, в которой f(c)=0.

Доказательство:

Пусть f(a)<0, f(b)>0. Разделим отрезок [a;b] пополам. Если значение f в середине отрезка равно 0, то теорема доказана. В противном случае из 2х половин отрезка возьмем тот сегмент, на концах которого f(x) принимает значение разных знаков. Обозначим его через , . Разделим его пополам и повторим процедуру, обозначив через , отрезок, в 2 раза меньший, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков.

Продолжая этот процесс, либо на каком-то m шаге значение функции в середине отрезка [ , ]=0 и теорема доказана, либо мы получим последовательность вложенных отрезков ⊃…⊃[ ]⊃…

Причем - = →0 при n→∾.

По теореме о вложенных отрезках существует точка С , принадлежащая всем отрезкам. Докажем, что f(c)=0.

Действительно, если f(c)>0, то по теореме об устойчивости знака непрерывности функции, существует некоторая окрестность точки С, в которой f(x)>0. В эту окрестность при достаточно большом n попадет отрезок [ ], в котором f(x)>0. Это противоречит тому, что на концах вложенных отрезков, функция f(x) принимает значения разных знаков.

Аналогично доказывается, что значение f(c) не может быть отрицательным.→ f(c)=0, причем сc(a;b).

60 . Вторая теорема Больцано-Коши.

Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], причем f(a)=A, f(b)=B.

=B.

Пусть С – любое число, заключенное между А и В. Тогда на отрезке [a;b] найдется точка С, такая, что f(c)=C.

Доказательство:Пусть А<С<В. Рассмотрим вспомогательную функцию γ(х)=f(x)-C. Эта функция непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков:

γ(a)=f(a)-C=A-C<0

γ(b)=f(b)-C=B-C>0.

По 1ой теореме Больцано-Коши существует такая точка Сc(a,b), что γ(с)=f(c)-C=0.

Смысл теоремы заключается в том, что непрерывность функции при переходе от одного значения к другому принимает все промежуточные значения.

61) Ограниченность непрерывных функций на отрезке. Первая теорема Вейерштрасса. Если функция  непрерывна на отрезке  , то она ограничена на данном отрезке. Замечание: на интервале  функция может быть не ограничена.

.Доказательство. Предположим, что   непрерывна, но неограниченна:    .По лемме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности  можно извлечь частичную последовательность  , сходящуюся к пределу  :

. По теореме о предельном переходе в неравенстве  . Так как  ,  . Мы пришли к противоречию.То есть   - ограничена.  .

61) Теорема о достижении функцией своих граней.

Вторая теорема Вейерштрасса

Если   , то она достигает своих точных граней, то есть

  и

 .

Доказательство:

Обозначим   (следует из первой теоремы Вейерштрасса) В силу определения точной верхней грани выполняется условие: 

Полагая   получим последовательность  такую, что для всех  выполняются условия   откуда получаем  существует подпоследовательность    (по теоремеБольцано-Вейерштрасса) последовательности    и точка   , такие что   ,  где   В силу непрерывности функции   в точке   

С другой стороны   — подпоследовательность последовательности  , сходящейся к числу  Поэтому   В силу единственности предела последовательности заключаем, что

Утверждение   доказано.

Аналогично доказывается  Функция непрерывна на интервале может не достигать своих точных граней (требовать непрерывности на сегменте существенно).

62) Равномерная непрерывность. Понятие обратной функции. Если функция f непрерывна на отрезке, то это означает, что любой точки x этого отрезка и для любого числа > 0 найдется такое число > 0 (зависящее от точки x и числа ), что для всех точек x' отрезка, для которых |x' - x| < , (1) выполняется неравенство | f(x') - f(x)| < . (2)

Если число можно выбрать не зависящим от точки x так, чтобы при выполнении условия (7.20) выполнялось условие (7.21), то функция f называется равномерно непрерывной. Сформулируем определение этого важного понятия более подробно. Определение 1. Функция f, заданная на отрезке [a,b], называется равномерно непрерывной на нем, если для любого > 0 существует такое > 0, что для любых двух точек x [a,b] и x' [a,b] таких, что |x' - x| < , выполняется неравенство | f(x') - f(x)| < .     В символической записи определение непрерывности функции на отрезке выглядит следующим образом: x  > 0 > 0  x',    |x' - x| < : | f(x') - f(x)| < , а определение равномерной непрерывности выглядит так: > 0 > 0  x,x',   |x' - x| < : | f(x') - f(x)| < .	(3)

Здесь точки x и x' принадлежат отрезку, на котором задана функция f.

Обратная функция Пусть задана функция y = f(x). Чтобы найти обратную для нее функцию, надо из уравнения y = f(x) выразить переменную x через y, и затем поменять переменные местами. Обратную функцию часто обозначают в виде y = f  ⁻¹(x). Исходная и обратная функции симметричны относительно прямой y = x.