52) Второй замечательный предел.

Теорема: Предел функции f(x)= при х→0 существует и равен е, т.е.

Доказательство: Как известно, =е

Докажем, что (1)

Действительно, пусть х>1. Обозначим через n целую часть от числа х. Тогда х=n+𝛼, где 0≤𝛼<1. Поскольку n ≤х≤n +1, то < , тогда < . Мы получили ограничения на функцию сверху и снизу. Теперь вычислим пределы этих ограничений. Т.к. при целая переменная n→∾, то предел ограничен справа. =е*1=е. Аналогично вычисляется предел ограничения слева.

Отсюда получаем (при х→∾) , ч.т.д.

В случае, когда х→-∾, обозначим х=-у и получим:

Объединяя оба случая, получим формулу (1).

53) . Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = а, если предел ее в этой точке равен нулю: f(x) = 0. Аналогично определяются бесконечно малые при х , х ± , х а+ и х а—. Теорема. Алгебраическая сумма и произведение конечно­го числа бесконечно малых функций в точке а, как и произве­дение бесконечно малой на ограниченную функцию, являются бесконечно малыми функциями в точке а. Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке а (или просто бесконечно большой), если для любой сходящейся к а последовательности {х_n} значений аргумента соответствующая последовательность {f(x_n)} зна­чений функции является бесконечно большой. В этом случае пишут f(x) = ( f(x) = + или f(x) = - ) и говорят, что функция имеет в точке а бесконечный предел (+ или - ). По аналогии с конечными односторонними пределами определены и односторонние бесконеч­ные пределы: Аналогично определяются бесконечно большие функции при x , x + , x - .

54) Сравнение бесконечно малых и   бесконечно больших функций.

Между бесконечно малыми и бесконечно большими функ­циями существует та же связь, что и между соответствующи­ми последовательностями, т.е. если α(х) — бесконечно малая функция при х а, то f(x) = 1/α(х) — бесконечно большая функция, и наоборот

55) Непрерывность функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на некоторой окрестности в точке а.

1.Функция f(x)а, называется непрерывной в точке а, если предел и значение функции в этой точке совпадают, т.е. (1) Так как x = а, то это равенство можно переписать в следующей форме:

2.Функция f(x) называется непрерывной справа (слева)в точке а, если правый (левый) предел этой функции в точке а равен значению этой функции в точке.

или f(a+0)=f(a).

или f(a-0)=f(a). (1)

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

56)Непрерывность элементарных функций.

Постоянная f(x)=С непрерывна в любой числовой прямой, т.к. , что соответствует определению непрерывности функций в точке.

Функция f(x)=Х непрерывна в каждой точке числовой прямой, т.к. предел функции в точке а равен ее значению в точке Отсюда и из теоремы о непрерывности функции в точке можно заключить, что f(x)= , где n- натуральное число, непрерывна в любой точке числовой прямой.

Алгебраический многочлен p(x)=a +a также является непрерывной функцией на всей числовой прямой в силу теоремы о непрерывности функции в точке, т.к. представляет собой сумму произведений непрерыв. функций.

Дробно-рациональная функция R(x)= , где P и Q – алгебраические многочлены, непрерывна во всех точках числовой прямой за исключением нулей знаменателя. Тригонометрические функции sin x, и cos x непрерывны в любой точке x числовой прямой. Непрерывность функций tg x = sin x / cos x и sec x = 1/ cos x соблюдается во всех точках, x ≠ π / 2 + nπ; аналогично непре­рывность функций ctg x = cos x / sin x и sec x = 1 / sin x обеспе­чена во всех точках x ≠ пπ (n = 0, ±1, ±2,...).

Рассмотренные выше функции непрерывны в каждой точ­ке, в окрестности которой они определены.

57) Классификация точек разрыва функции.

1.Устранимый разрыв. Точка а называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но в точке а функция f(x) либо неопределена, либо ее значение f(a) не равно пределу в этой точке.

2.Разрыв первого рода. Точка а называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы:

3. Точка разрыва второго рода. Точка а называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

4. Функция f(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна во всех внутренних точках [a;b], за исключением конечного числа точек, в которых имеет место разрыв 1-го рода, но существуют односторонние пределы в точках a и b.

5. Функция называется кусочно-непрерывной на интервале или бесконечной прямой, если она кусочно-непрерывна на любом принадлежащем им отрезке.

Пример: рассмотрим функцию f(x)=[x] (целая часть числа х). Функция задана для всех вещественных значений х, а множество ее значений состоит из целых чисел.

Функция кусочно-неопределена на всей числовой оси, а в точках x=n (n=0, )

Функция непрерывна справа и разрывна слева. Во всех других точках она непрерывна.

58) Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

Пусть функция f(x) непрерывна в точке а, причем f(a)≠0. Тогда существует такая δ-окрестность точки а, что для всех хc(а-δ;а+δ), f(x) имеет тот же знак, что и f(a).

Доказательство: Пусть f(a)>0. Тогда, согласно определению непрерывности функции в точке, для любого ℰ>0, можно найти такое δ>0, что |f(x)-f(a)|<ℰ выполняется для всех х, удовлетворяющих условию |х-а|<δ, или, что то же самое, выполняется неравенство: f(a)-ℰ<f(x)<f(a)+ℰ. (1)

Возьмем ℰ<f(a). Тогда из левого неравенства (1) получим, что f(x)>0 для всех х из δ-окрестности точки а.

В случае f(a)<0 рассмотрим функцию –f(x), т.к. она неположительна в точке а, то для нее существует δ-окрестность точки а, для которой