2.3. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях

Пусть известны значения дифференцируемой функции z = f(x, y) и ее частных производных f ′x(x, у) и f ′y(х, у) в точке (х, у). Поставим задачу о приближенном вычислении значения функции в точке (х + Δх, у + Δу).

Полное приращение Δz функции равно

Δz = f(x + Δx, y + Δy) – f(x, y),

откуда,

f(x + Δx, y + Δy) = f(x, y)+ Δz

Заменяя Δz полным дифференциалом dz, получим формулу

f(x + Δx, y + Δy) ≈ f(x, y) + f ′x(x, у) Δx + f ′y(х, у)Δу, (6)

верную с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Δx и Δу.

Пример 3. Используя полный дифференциал, вычислить приближенно 1.08 3. 96.

Решение. Значение функции f(x, y) = x ^у при х = 1.08, у = 3.96 совпадает с искомым числом 1.08^3.96, следовательно, нужно вычислить f(1.08, 3.96). Вос­пользуемся для функции f(x, y) = x ^у формулой (2.5), полагая в ней х = 1, у = 4, Δх = 0.08, Δу = − 0.04. Найдем значения функции и ее частных производных в точке (1, 4):

f(1, 4) = 1, f ′x(x, у) = y x ^y-1, f ′x(1, 4) = 4, f ′y(x, у) = x ^у lnx и f ′y(1, 4) = 0.

По формуле (6) имеем

1.08^3.96 = f(1+0.08, 4 – 0.04)) ≈ f(1,4) + f ′x(1, 4)Δx + f ′y(1, 4)Δу=1+ 4(0.08) = 1.32.

2.4 Производная сложной функции. Полная производная

Обобщим понятие сложной функции на случай функции многих переменных. Пусть дана функция

z = f(u, v), (7)

аргументы которой u и v – функции других переменных х и у:

u = ϕ(x, y), v = ψ(x, y). (8)

Если в соотношение (7) вместо u и v подставить их выражения через х и у, то в результате получим сложную функцию переменных х и у:

z = f(u, v) = f(ϕ(x, y),ψ(x, y)) = F(x, y).

В частном случае, если u и v зависят только от одного переменного: u = ϕ(x), v = ψ(x), то сложная функция z = f(u,v) = f(ϕ(x),ψ(x)) = F(x) является функцией одного переменного х.

Рассмотрим правила дифференцирования сложной функции. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Если z = f(u, v), u = ϕ(x) и v = ψ(x) дифференцируемые функции, то производная существует и равна:

(9)

Рассмотрим общий случай. Пусть z = f(u, v), где аргументы u и v зави­сят от двух и более преременных, например, определяются равенствами (8). Тогда z является функцией двух независимых переменных x и y . Для нахож­дения ее частной производной зафиксируем y. Поскольку в этом случае z – функция одной переменной x, то применяя формулу (9), получим

(11)

Аналогично находим частную производную z по y:

(12)

2.5. Полный дифференциал сложной функции

Найдем полный дифференциал сложной функции, определяемой равен­ст­вами (7) и (8). По формулк (4) , а частные производ­ные и сложной функции определяются равенствами (11) и (12) соответственно. Следовательно

Преобразуем правую часть

Так как

то последнее равенство примет вид

(13)

Сравнивая формулы (13) и (4), можно сказать, что полный дифференциал функции z = f(u, v) имеет один и тотже вид независимо от того, являются ли ее аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных. Этот факт называют свойством инвариантности дифферен­циала первого порядка. Таким образом, установлено, что функции нескольких переменных обладают свойством инвариантности формы первого диф­ферен­циала.