2.6. Неявно заданные функции
Будем говорить, что функция z = f(x, y) неявно задана в некоторой области D переменных (x, y) соотношением
F(x, y, z) = 0, (14)
если она в области D обращает уравнение (14) в тождество, т. е.
F(x, y, f(x, y)) ≡ 0 . (15)
Если нам задано только соотношение (14), то возникает вопрос: при каких условиях оно определяет неявную функцию z = f(x, y), которая обладает теми или иными нужными свойствами (непрерывность, дифференцируемость). Ясно, что существование неявной функции, а также и ее свойства зависят от свойств функции F(x, y, z). Справедлива следующая
Теорема 5. Пусть фнкция F(x, y, z) и ее частные производные F′x, F′у, F′z непрерывны в некоторой окрестности точки Р0(х0, у0, z0). Если F(x0, y0, z0) = 0, а F ′z (x0, y0, z0) ≠ 0, то существует окрестность точки (x0, y0), где уравнение F(x0, y0, z0) = 0 определяет единственную непрерывную и дифференцируемую функцию z = f(x, y) такую, что f(x0, y0) = z0 и F(x, y, f(x, y)) 0.
Если функци F(x, y, z) удовлетворяет теореме 5, то формулы частных производных неявной функции имеют вид:
Или в общем случае, когда уравнение F(x, y, ..., v, u) = 0 определяет u как функцию от переменных x, y, ..., v , cправедли формулы:
2.7 Частные производные высших порядков
Определение 4 Частная производная (если она существует) от частной производной первого порядка функции z = f(x,y) называется частной производной второго порядка.
Дифференцируя f ′x(x, y) по х и по у, получим две частные производные второго порядка, которые обозначаются следующим образом:
Аналогично для f ′y(x, y):
Производные f ′′xy(x, y) и f ′′yx(x, y) называются смешанными производными, они отличаются тем, что первая получена дифференцированием функции z сначало по x, а затем по y, а вторыя наоборот, - сначало по y, а затем по x. При этом справедлива следующая
Теорема 6 (о равенстве смешанных производных). Если функция z = f(x, y) и ее производные f ′x, f ′y, f ′′xy, f ′′yx определены и непрерывны в точке P(x, y) и некоторой ее окрестности, то в этой точке справедливо равенство
Производные второго порядка в силу их непрерывности можно снова дифференцировать, как по х так и по y, в результате получаем производные третьего порядка и т.д.
Таким образом, частной производной порядка n функции z = f(x, y) называется первая производная от частной производной (n – 1) порядка.
Для частных производных высших порядков справедлива теорема о равенстве смешанных производных, т. е. о независимости результата от порядка дифференцирования, аналогичная теореме 6.
2.8 Полный дифференциал высшего порядка
Полный дифференциал функции dz(x, y) = z′x(x, y)dx + z′y(x, y)dy является функцией двух переменных х и у, если считать dx и dy постоянными, следовательно имеет смысл говорить о его дифференциале.
Определение 2. Полным дифференциалом второго порядка функции z = f(x, y) называется полный дифференциал от полного дифференциала dz(x, y) первого порядка при условии, что dx и dy cчитаются постоянными (dx и dy не зависят от х и у).
Согласно определения для дифференциала первого порядка имеем
Совершенно аналогично дифференциал n-го порядка – это полный дифференциал (n – 1)-го порядка, т.е.
