3.1. Понятия экстремумов

Рассмотрим функцию z = f(x,y), которая определена в области D, и неко­торую точку Р0(х0,у0) из этой области.

Определение 1. Точка Р₀(х₀,у₀) называется точкой максимума функ­ции z = f(x, y), а значение f (Р₀) – максимумом (максимальным значением), если существует окрестность точки Р₀(х₀,у₀), очки Р(х,у), выполняется нера­венство

f(Р0) > f(P) . (1)

Определение 2. Точка Р0(х0,у0) называется точкой минимума функ­ции z = f(x, y), а значение f(Р0) – минимумом (минимальным значением), если существует окрестность точки Р0(х0,у0), для всех точек Р(х,у) которой, отличных от точки Р0(х0,у0), выполняется неравенство

f(Р0) < f(P) (2)

Точки максимума и минимума функции z = f(x, y) называются экстре­маль­ными точками или экстремумами, а значения функции в этих точках экстремальными значениями.

Из неравенств (1) и (2) следует, что в точке экстремума Р0(х0,у0) полное приращение функции Δf(Р0) = f(P) – f(Р0) сохраняет определенный знак в некоторой окрестности этой точки, причем Δf(Р0) < 0, если Р0 – точка макси­мума, и Δf(Р0) > 0, если Р0 – точка минимума.

Отметим, что понятия экстремумов – локальное понятие. Если например, Р0 – точка максимума, то f(P0) является наибольшим значением в некоторой окрестности точки P0, но может не быть таковым во всей области D, т. е. вне указанной окрестности могут существовать точки, в которых значения функции будут больше, чем значение в точке P0. В связи с этим точки экстремумов часто называют точками локального экстремума.

Если неравенство (1) (или (2)) справедливо для всех точек области D, то говорят, что в точке Р0, функция достигает наибольшего (или наименьшего) значения в области D. Точки локального экстремума не следует смешивать с точками, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значения. Определения 1 и 2 фактически определяют точки экстремумов для функций любого конечного числа переменных.

3.2. Необходимые и достаточные условия существования экстремумов

Как и в случае функции одной переменной, возникает задача о нахожде­нии необходимых и достаточных условий существования экстремумов.

Сформулируем их для функций двух независимых переменных.

Пусть Р0(х0,у0) – точка локального экстремума для функции z = f(x, y). Зафиксируем значение одной переменной у = у0, тогда функция z = f(x, y0) является функцией одной переменной х, а х = х0 – ее точка экстремума. По необходимому признаку для функции одной переменной производная в этой точке равна нулю или не существует, т.е. fx′ (x0, y0) = 0 или не существует. Для функции z = f(x, y) это условие, очевидно, означает, что в точке экстремума частная производная по х равна нулю или не существует. Аналогичные рассуждения можно провести для другой переменной. Таким образом, получаем следующие необходимые условия существования экстремума.

Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума) Если функция z = f(x, y) в точке P₀ имеет экстремум, то в этой точке обе частные производные равны нулю (f_x′(P₀ ) = 0, f_y′(P₀ ) = 0) или, по крайней мере, одна из них не существует.

Теорема 1 имеет простой геометрический смысл. Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) в точке экстремума P0 параллельна плоскости x0y (z _x′(P₀) = 0, z _y′(P₀ ) = 0) или не существует.

Необходимые условия существования экстремума остаются справед­ливыми и для функций большего числа переменных. Точки, в которых все частные производные первого порядка функции z = f(P) равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются критическими точками. Если в критической точке фукнция дифференцируема, то все частные производные первого порядка в ней обращаются в нуль. Такую точку часто называют стационарной. Для отыскания стационарных точек функции z = f(x, y) нахо­дят частные производные первого порядка и решают систему уравнений

Согласно теореме 1 любая точка экстремума является критической точкой функции, но не всякая критическая точка является точка экстремума.

Ответ на вопрос, является ли стационарная точка точкой экстремума, дают достаточные условия существования экстремума, которые сформули­рованы ниже в виде теоремы 2.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума) Пусть функция z = f(x, y) в стационарной точке Р0 (х0, у0) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Если А = f_x ′′(Р), B = f_xy ′′(Р), C = f_y ′′(Р) и Δ(Р) = АС - В², то возможны три случая:

1) при Δ(Р0) > 0 Р0 – точка экстремума, причем, в точке Р0 максимум, когда А < 0, и минимум, когда А > 0;

2) при Δ(Р0) < 0 Р0 не является точкой экстремума;

3) при Δ(Р0) = 0 о характере стационарной точки заключения сделать нельзя, нужы дополнительные исследования.

Замечание. Приведенные условия эквивалентны следующим. Пусть Р0 – стационарная точка функции z = f(x, y), т. е. d f(Р0) = 0, тогда:

1) если d²f(Р0) < 0 при dx² + dy² ≠ 0, то f(Р0) – максимум функции f(x, y);

2) если d² f(Р0) > 0 при dx² + dy² ≠ 0, то f(Р0) – минимум функции f(x, y);

3) если d²f(Р0) меняет знак, то f(Р0) не является экстремумом.