III. Исследование функций с помощью производных

1. Условия возрастания функции на отрезке.

2. Условия убывания функции на отрезке.

3. Точки экстремума. Необходимое условие экстремума.

4. Достаточные признаки максимума и минимума функции (изменение знака первой производной).

5. Наибольшее и наименьшее значения, функции, непрерывной на отрезке.

6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости.

7. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба.

8. Исследование функций на экстремум с помощью высших производных.

9. Асимптоты графика функции.

IV. Функции нескольких переменных (фнп)

1. Определение функции нескольких переменных (ФНП).

2. Способы задания функции двух переменных.

3. Предел и непрерывность ФНП.

4. Частные и полное приращения функции двух переменных.

5. Частные производные первого порядка функции двух переменных и их геометрическая интерпретация.

Справочный материал

1. Правила дифференцирования. Если – постоянное число и , – некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) .	2) .	3) .
4) .	5) .	6) .

2. Таблица производных основных элементарных функций

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

Образец решения примеров.

Пример 1. Найти пределы функций.

1) .

2) .

3)

4)

.

5) 6)

7)

8) .

При решении использовали первый специальный предел и теоремы о применении эквивалентных бесконечно малых в пределах.

Пример 2. Вычислить производные функций.

1)

2)

3)

Зависимость между переменными и задана параметрическими уравнениями. Искомая производная определяется по формуле . Имеем:

Откуда

4) Найти производную функции y, если .

Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая функцией от :

.

Отсюда находим

.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Общая схема исследования:

1. найти критические точки, лежащие внутри отрезка ;

2. вычислить значения на концах отрезка, то есть найти и ;

3. сравнив найденные значения со значениями функции в критических точках, выбрать наибольшее и наименьшее;

Найдем сначала критические точки, принадлежащие интервалу :

.

Теперь вычислим значения заданной функции в критических точках и на концах отрезка:

Сравнивая полученные значения функции, заключаем, что

Пример 4. Найти все частные производные первого порядка функции двух переменных .

При вычислении частной производной по « x », « y» считаем постоянной. Аналогично, при нахождении частной производной по « y », считаем постоянной « x ».

;

.