Контрольные задания по линейной алгебре и аналитической геометрии Рекомендуемая литература

Данко П.Е., Попов А.Г. и др. «Высшая математика в упражнениях и задачах». т. 1

Основные теоретические сведения и методические указания

1. Определители второго и третьего порядка. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Вычисление определителя n-го порядка путем разложения по строке или столбцу. Свойства определителей. Элементарные преобразования, не меняющие значения определителя.

2. Матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц, его свойства. Минор к-го порядка матрицы. Ранг матрицы, его неизменность при элементарных преобразованиях. Ранг матрицы ступенчатого вида. Обратная матрица. Условие ее существования. Методы отыскания обратной матрицы.

3. Система линейных уравнений. Совместность системы. Запись и решение системы линейных уравнений в матричной форме. Формулы Крамера. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Методы Гаусса и Жордана-Гаусса. Однородная система линейных уравнений. Критерий существования ненулевого решения.

4. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой, геометрический смысл коэффициентов при неизвестных. Нормальный вектор прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку, через две заданные точки. Уравнение прямой в отрезках на осях. Параметрические и канонические уравнения прямой. Направляющий вектор прямой. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Определение угла между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Задания для контрольной работы № 1.

Задание 1. Тема: Определители. Матрицы. Системы линейных уравнений.

1. Найдите x из уравнения

2. Дано: ; ; .

Найдите 1) А-В+3Е; 2) ЕА; 3) АВ; 4) .

3. Решите систему линейных уравнений

1) по формулам Крамера;

2) методом Гаусса.

.

Задание 2. Тема: Аналитическая геометрия на плоскости.

1. Даны вершины треугольника MPQ: М(0,-5); Q(4,-3);. Р(-1,N-9).

Найдите:

1) длину стороны РQ; 2) уравнение РQ;

3) уравнение высоты МН; 4) уравнение медианы PL;

5) длину высоты MH.

6) Cделайте чертеж.

2. Постройте прямую, заданную уравнением 2x+(N-9)y=N.

Образец и методические указания к выполнению контрольной работы № 1 по алгебре Матрицы, определители, системы уравнений

Пример 1. . Найти .

Решение.

.

.

Пример 2. . Найти произведение матриц.

Решение. Матрица имеет размерность , а матрица - размерность . Имеет смысл только произведение , причем в результате перемножения матриц получается матрица размерности :

.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Решение. Решение системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей определяется по формулам Крамера .

Найдем все определители, входящие в формулы Крамера, разложением по элементам первой строки:

,

,

.

Значит, - решение данной системы.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Выполним прямой ход метода Гаусса: составим расширенную матрицу системы и путем элементарных преобразований строк приведем ее к эквивалентной матрице ступенчатого вида:

Выполним обратный ход метода Гаусса, составив по ступенчатой матрице систему линейных уравнений:

.

Пример 5. Определим матрицу, обратную матрице . Решение. Такая матрица существует, так как соответствующий ей определитель не равен нулю. Найдем алгебраические дополнения

Теперь транспонируем матрицу, составленную из алгебраических дополнений, и разделим ее элементы на , тогда обратная матрица

.