§ 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Частной производной функции по переменной называется конечный предел , т. е. чтобы найти частную производную по , надо считать постоянной и руководствоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

Аналогично определяется и производная по : .

Пример 1. . Найти и .

Решение. Считаем постоянной, тогда . Если – постоянная, то .

Пример 2. . Найти и .

Решение. Если постоянная, то это степенная функция: ; при постоянной функция – показательная функция, тогда .

Частные производные второго порядка:

; ;

; .

Для большого класса функций смешанные производные равны, т.е.

.

Пример 3. Убедиться, что смешанные производные функции равны.

Решение. ; ,

; .

Таким образом, .

Пример 4. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение. Находим ;

. Подставляем найденные выражения в левую часть уравнения

, что и требовалось.

§ 4. Ряды.

4.1. Знакоположительные числовые ряды.

Пусть дана бесконечная числовая последовательность Выражение вида – называется числовым

рядом, где – общий член ряда.

Сумму первых членов ряда называют - ой частичной суммой и обозначают .

Ряд называют сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм, т.е. . Число называют суммой ряда. Если или не существует, ряд называют расходящимся.

Пример 1. Ряд, составленный из членов геометрической прогрессии сходится тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Дан ряд , -ая частичная сумма .

При : – ряд сходится. Если , то или не существует, ряд расходится. Итак, ( ).

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то .

Таким образом, если , то ряд расходится.

Пример 2. Покажем, что ряд расходится.

Решение. – общий член ряда; , значит ряд расходится.

Перечислим основные достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда

(1)

, (2)

причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т. е. для всех . Тогда, если сходится ряд (2), сходится и ряд (1), если расходится (1), то расходится (2).

Второй признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда (1) и (2) одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Признак Даламбера. Если для ряда существует предел , то этот ряд сходится при и расходится при .

Пример 3. сходится, так как ; ,

.

Пример 4. расходится, так как ; ;

.

Признак Коши. Если для ряда существует , то при ряд сходится, при расходится.

Пример 5. сходится, так как ; ;

.

Признак Дирихле. Ряд сходится тогда и только тогда, когда .

Пример 6. Гармонический ряд расходится, так как .

Пример 7. Ряд сходится, так как .

Пример 8. Ряд расходится, так как его можно сравнивать по второму признаку с гармоническим рядом, который расходится.

~ (при ).

Пример 9. сходится, так как ~ , ряд сходится , значит по второму признаку сравнения сходится и данный ряд.

4.2. Знакочередующиеся ряды. Для знакочередующего ряда

справедлив признак сходимости Лейбница: знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т. е.

1) ;

2) .

Пример 10. сходится, так как

1) ; ; , …, т. е. ...;

2) .

Абсолютная и условная сходимость. Рассмотрим знакопеременный ряд

и ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда:

Если сходится ряд , то сходится исходный ряд и называется абсолютно сходящимся.

Сходящийся ряд называют условно сходящимся, если ряд расходится.

Пример 11. сходится (по признаку Лейбница), а ряд

расходится , значит, данный ряд сходится условно.

Пример 12. сходится абсолютно, так как ряд сходится .

4.2. Степенные ряды. Ряд вида

называется степенным. Числа , , …, ,… – коэффициенты ряда (действительные числа), – центр ряда (также действительное число).

Теорема (об области сходимости степенного ряда). Для всякого степенного ряда существует интервал сходимости с центром в точке : , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого расходится.

На концах интервала требуется дополнительное исследование.

Радиус сходимости можно находить по формуле: .

Пример 13. Найти область сходимости степенного ряда

.

Коэффициент n–го члена равен ; коэффициент (n+1)–го члена , следовательно .

Таким образом, ряд абсолютно сходится для всех значений x из интервала . Для значений и ряд расходится. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Подставляем в заданный ряд . Получаем числовой ряд – этот ряд гармонический, он, как известно, расходится. При получаем ряд Этот знакопеременный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.

Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством .