Индивидуальные задания.
1-10. Найти области определения данных функций и построить их графики. Указание. В примерах а) графиком функции является часть кривой второго порядка.
-
1. а)
;б)
.
2. а)
;б)
.3. а)
;б)
.4. а)
;б)
.5. а)
;б)
.6. а)
;б)
.7. а)
;б)
.8. а)
;б)
.9. а)
;б)
.10. а)
;б)
.
11-20. Вычислить пределы:
-
11. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
.12. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
.13. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
.14. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
.15. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
.16. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
.17. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
.18. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
.19. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
.20. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
.
21-30. Найти первые производные функций. В заданиях а) и б) дополнительно найти вторые производные.
-
21. a)
;г)
;б)
;д)
;в)
;е)
.22. a)
;г)
;б)
;д)
;в)
;е)
.23. а)
;
г)
;б)
;д)
;в)
;е)
.24. а)
;г)
;б)
;
д)
;в)
;е)
.25. а)
;г)
;б)
;д)
;в)
;е)
.26. а)
;г)
;б)
;д)
;в)
;е)
.27. а)
;г)
;
б)
;д)
;
в)
;е)
.28. а)
;г)
;б)
;д)
;в)
;е)
.29. а)
;г)
;б)
;д) ;
в)
;е)
.30. а)
;г)
;б)
;д)
;в)
;е)
.
31-40. Найти уравнение касательной к параболе, проходящей параллельно данной прямой. Сделать чертеж.
-
31. y = x2 – 4x + 3, y = 4x + 4.
36. y = x2 + 2x – 3, y = – 4x + 2.
32. y = – x2 – 2x + 3, y = –2x – 2.
37. y = –x2 – 2x + 3, y = 4x – 3.
33. y = x2 – 6x + 8, y = 6x + 1.
38. y = x2 + 8x – 9, y = 4x.
34. y = – x2 – 2x + 3, y = – 6x + 4.
39. y = – x2 + 4x , y = 2x.
35. y = x2 + 8x – 9, y = 2x + 1.
40. y = x2 – 2x – 3, y = 6x + 3.
41-50. Для
функции, заданной параметрически, найти
и
.
-
41.
46.
42.
47.
43.
48.
44.
49.
45.
50.
51-60. Найти
значение
в точке
для функции, заданной неявно.
-
51. x2 + 2y2 + 6x – 4y – 13 = 0, M (1;-1).
52. x3 – x y + y + 7 = 0, M (-1;-3).
53. 3x2 – x y + y3 – x = 0, M (0;2).
54. 3x2 – x y + y 2 +x – 34 = 0, M (-2;4).
55. x2 y2 – 4y3 – x = 4, M (0;-1).
56. x 6 + y 6 – 2xy = 0, M (1;1).
57. 7x2 + x y – y3 + 3 = 0, M (1;-2).
58. 2x2 – 9y2 + 4x + 18y + 11 = 0, M (2;-1).
59. 3x2 – 5y2 – 6x – 20y + 25 = 0, M (2;1).
60. 2x5 + y5 – 2xy + 26 = 0, M (1;-2).
61-70. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.
-
61. а)
;б)
.62. а)
;б)
.63. а)
;б)
.64. а)
;б)
.65. а)
;б)
.
66. а)
;б)
.67. а)
;б)
.68. а)
;б)
.
69. а)
;б) .
70. а)
;б)
.
81-90. Проверить справедливость равенства.
-
81.
,
если
.82.
,
если
.83.
,
если
.84.
,
если
.85.
,
если
.86.
,
если
.87.
,
если
.88. , если
.89.
,
если
.90.
,
если
.
91-100. Исследовать сходимость числовых рядов.
-
91. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
.92. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
.93. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
.94. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
95. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
.96. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
.97. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
.98. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
.99. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
.100. а)
;б)
;в)
;г)
;д)
;е)
.
101-110. Найти область сходимости степенного ряда.
-
101.
.102.
.103.
104.
.105.
.106.
.107.
.108.
.109.
.110.
.
Список литературы.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1999.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987.
Шипачев В.С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 1994.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – М.: Наука, 1978.