Раздел 1. Линейная алгебра. Векторная алгебра.
Понятие матрицы, типы матриц
Матрицей размера m ? n называется прямоугольная таблица чисел, содержащих m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются прописными буквами латинского алфавита (A,B,C…) , а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией:
, где i - номер строки, j - номер столбца.
Например, матрица
Или в сокращённой записи, A=(); i =1,2…, m; j=1,2, …, n.
Используются другие обозначения матрицы например: [ ], ? ?.
Две матрицы А и В одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно,т.е. = , где i= 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n.
Рассмотрим основные типы матриц:
1. Пусть m = n, тогда матрица А - квадратная матрица, которая имеет порядок n:
Элементы образуют главную диагональ, элементы образуют побочную диагональ.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, кроме, возможно, элементов главной диагонали, равны нулю:
Диагональная, а значит квадратная, матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали равны 1:
Заметим, что единичная матрица является матричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а также подчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.
Приведем примеры единичных матриц:
Квадратные матрицы
называются верхней и нижней треугольными соответственно.
2. Пусть m = 1, тогда матрица А - матрица-строка, которая имеет вид:
3. Пусть n=1, тогда матрица А - матрица-столбец, которая имеет вид:
4.Нулевой матрицей называется матрица порядка mn, все элементы которой равны 0:
Заметим, что нулевая матрица может быть квадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица есть матричный аналог нуля во множестве действительных чисел.
5. Матрица называется транспонированной к матрице и обозначается , если ее столбцы являются соответствующими по номеру строками матрицы .
Заметим, если матрица А имеет порядок mn, то транспонированная матрица имеет порядок nm.
6. Матрица А называется симметричной, если А=, и кососимметричной, если А = .
Пример. Исследовать на симметричность матрицы А и В.тогда следовательно, матрица А - симметричная, так как А =.
тогда следовательно, матрица В - кососимметричная, так как В = - .
Заметим, что симметричная и кососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричной матрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главной диагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть На главной диагонали кососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главной диагонали
2.Операции с матрицами (сложение, умножение на число, умножение матрицы на матрицу, транспортирование матриц). Свойства операций.
Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.
Равные матрицы
Две матрицы называются равными, если
они имеют одинаковые размеры и их
соответствующие элементы равны:
Произведение матрицы на число
Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.
Сумма матриц
Суммой матриц
и
одного размера называется матрица
такого же размера, получаемая из исходных
путем сложения соответствующих элементов.
Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.