5.Обратная матрица. Критерий ее существования и формула для вычисления.

Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Замечание.

 Обратная матрица существует только для квадратных матриц определитель которых не равен нулю.

Свойства обратной матрицы:

●	det(A-1) =  1 det(A)
●	(A·B)-1 = A-1·B-1
●	(A-1)T = (AT)-1
●	(kA)-1 =  A-1 k
●	(A-1)-1 = A

Методы вычисления обратной матрицы Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Теорема.

 Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица полученная из единичной будет обратной матрицей к исходной.

Замечание.

 Если при преобразованиях в левой части матрицы образуется нулевая строка (столбец), то исходная матрица не имеет обратной матрицы.

Вычисление обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Определение.

 Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.

A-1 =	1	ÃT
	det(A)

6.Системы линейных алгебраических уравнений (слау).

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Здесь   — количество уравнений, а   — количество неизвестных. x₁, x₂, …,x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными^[1]. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно^[2].

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида:

Упорядоченный набор значений   называется решением системы, если при подстановке в уравнения все уравнения превращаются в тождество.

7.Совместные, несовместные, определенные, неопределенные слау.

СЛАУ называется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение.

В противном случае система называется несовместной.

Система называется определённой, если она совместна и имеет единственное решение.

В противном случае (т.е. если система совместна и имеет более одного решения) система называется неопределённой.

Система называется однородной, если все правые части уравнений, входящих в нее, равны нулю одновременно.

Система называется квадратной, если количество уравнений равно количеству неизвестных.