Формулировка теоремы о базисном миноре

Теорема

Столбцы матрицы  , входящие в базисный минор, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы   линейно выражается через остальные столбцы из базисного минора.

В матрице   размеров   минор  -го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры  -ro порядка равны нулю или их вообще не существует.

Следствие. Если все столбцы матрицы   линейно выражаются через   столбцов , которые образуют линейно независимую систему, то ранг матрицы  .

Что означает фраза "ранг матрицы равен r"? Она означает, что есть хотя бы один минор r-го порядка, который не равен нулю. Напомню, что такой минор называется базисным. Базисных миноров может быть несколько. При этом все миноры, порядок которых выше r, равны нулю или не существуют.

Если коэффициенты при r переменных совместной СЛАУ образуют базисный минор матрицы системы A, то эти r переменных называют базисными или основными. Остальные n−r переменных именуют свободнымиили неосновными.

Выбрать r базисных переменных в общем случае можно различными способами.

Решение СЛАУ, в котором все свободные переменные равны нулю, называется базисным.

10. Линейные операции над векторами, их свойства, проекция вектора на ось.

Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов   и   осуществляется по правилу треугольника.

Суммой   двух векторов   и   называют такой третий вектор  , начало которого совпадает с началом  , а конец - с концом   при условии, что конец вектора   и начало вектора   совпадают (рис. 1).

Для сложения векторов применяется также правило параллелограмма.

Определение

Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора   и  привести к общему началу, то вектор   совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах   и   (рис. 2). Причем начало вектора   совпадает с началом заданных векторов.

Вектор   называется противоположным вектором к вектору  , если он коллинеарен вектору  , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору  .

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1.  - коммутативность

2.  - ассоциативность

3. 

4. 

Разностью   векторов   и   называется вектор   такой, что выполняется условие:   (рис. 3).

Произведением   вектора   на число   называется вектор  , удовлетворяющий условиям:

1. 

2. 

3. , если  ,  , если  .

Свойства умножения вектора на число:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Проекция вектора на ось

Здесь   и   - произвольные векторы,  ,   - произвольные числа.

Пусть задан вектор   и некоторая ось   с единичным вектором  . Точки   и   - проекции точек   и   на ось   соответственно.

Определение

Проекцией вектора   на ось   называется длина отрезка  , взятая со знаком "+", если направление   совпадает с направлением вектора  , и со знаком "-", если направление  противоположно направлению единичного вектора оси   (рис. 1).

Проекция вектора   на ось   обозначается символом  .

Свойства проекции векторов

Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.

Вектор   и его проекция - вектор   - связаны следующим векторным равенством:

Проекция вектора   на некоторую ось   равна проекции на эту же ось вектора  , умноженного на число  :

Проекция вектора   на ось   равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось  :