4. Вычисление значений производных многочлена

Это применение схемы Горнера основано на формуле Тейлора:

f(x) = f() + (x–) + … + (x–)ⁱ + … + (x–)ⁿ ,

из которой следует, в частности, что найдя разложение f(x) = r₀+r₁(x–)+…+r_n(x–) ⁿ по степеням двучлена x– , можно вычислить значения производных многочлена в точке x =  по правилу: f ⁽ⁱ⁾() = (i !)r_i (0  i  n).

Пример: Вычислить значение f(–2) для f(x) = x⁴ – 1 .

Согласно предыдущему примеру, r₃ = –8. Значит, f(–2) = (3!)r₃ = –48. Это можно проверить и непосредственно: f(x) = 4x³, f(x) = 12x², f(x) = 24x, поэтому f(–2) = –48.

Упражнения: 1. Разложить многочлен f(x) = –x⁵+4x³–2x+7 по степеням x–3.

2. Найти f⁽⁴⁾(–2) для f(x) = x⁴–3x³+7.

3. Как применить схему Горнера для деления многочлена на двучлен вида ax+b ?

4. Разработайте алгоритм разложения многочлена по степеням двучлена ax+b.

§ 8. Сводка результатов для многочленов над полем

Начиная с этого параграфа, все рассматриваемые многочлены будут иметь коэффициенты из некоторого поля F. Поэтому для удобства читателя напомним некоторые доказанные факты о многочленах над полем.

Теорема (о кольце многочленов над полем). Пусть F – поле. Тогда F[x] является коммутативным кольцом с единицей без делителей нуля, причём U(F[x]) = U(F) = F \ {0}.

Теорема (о делении с остатком многочленов над полем). Пусть F – поле, f(x), g(x) – многочлены над F, причём g(x)  0. Тогда однозначно определены частное и остаток от деления f(x) на g(x).

Теорема (о разложении многочлена по степеням двучлена x – ). Любой ненулевой много­член f(x) над полем F однозначно разлагается по степеням двучлена x –  , где  – любой элемент поля F.

Теорема (Безу). Пусть F – поле,   F, f(x)  F[x]. Тогда найдётся единственный многочлен q(x)  F[x] со свойством f(x) = (x–)q(x) + f(). При этом q(x) = 0, если f(x) = const  F , и d(q) = d(f) – 1, если d(f)  1 . В частности,  – корень многочлена f(x) тогда и только тогда, когда f(x) = (x–)q(x).

Теорема (о выделении линейных множителей). Пусть F – поле, ₁ , … , _s – попарно различные корни многочлена f(x)  F[x] положительной степени. Тогда

f(x) = q(x)

для некоторых натуральных чисел k₁ , … , k_s (кратностей корней ₁ , … , _s ) и многочлена q(x)  F[x], для которого q(_i)  0 (1  i  s), а d(q(x)) = d(f) – .

Следствие (о разложении многочлена в произведение линейных). Пусть F – поле, f(x) = f_nxⁿ + … + f₁x + f₀ – многочлен степени n > 0. Тогда f(x) можно представить в виде f_n , где _i  _j при i  j, тогда и только тогда, когда ₁ , … , _s – его попарно различные корни, кратности k₁ , … , k_s которых удовлетворяют соотношению = n .

Теорема (о количестве корней многочлена). Любой многочлен положительной степени n над полем имеет не более n корней (с учётом их кратностей).

Теорема (о равенстве многочленов). Пусть F – бесконечное поле. Тогда два многочлена степени n над K равны тогда и только тогда, когда они в n+1 различных точках принимают равные значения.

Теорема (формулы Виета для многочленов над полем). Пусть F – поле, а многочлен f(x)=f_nxⁿ+f_n–1x^n–1+…+f₁x+f₀  F[x] представим в виде f_n , где ₁ , … , _n – его корни. Тогда имеют место следующие формулы Виета:

Теорема (формула Тейлора). Пусть f(x) – многочлен степени n над полем F, в котором обратимы все элементы i !1 (это верно, например для полей Q , R , C). Тогда для любого   F имеют место формулы Тейлора:

f(x+) = f() + x + … + xⁱ + … + xⁿ или

f(x) = f() + (x–) + … + (x–)ⁱ + … + (x–)ⁿ .