Второе из условий проверяется аналогично.
Итак, (K[x], +, ) – кольцо.
(2) Ясно, что K K[x] (каждый элемент a K интерпретируется как ряд a+0x+0x2+…). По теореме о подкольце нужно доказать, что a, b K a–b K ab K. Действительно, если a = a+0x+0x2+… , b = b+0x+0x2+… , то
a – b = = (a – b)+0x+0x2+… K , ab = ab+0x+0x2+… K .
(3) () Пусть вначале K[x] коммутативно, т.е. f(x), g(x) K[x] f(x)g(x) = g(x)f(x). Это равенство выполнено, в частности, и для элементов f(x) = a , g(x)= b K, т.е. подкольцо K тоже коммутативно.
() Пусть теперь коммутативно кольцо K, т.е. a, b K ab = ba. Тогда для любых
f(x) =
,
g(x) =
K[x]
имеем
f(x)g(x)
=
= =
=
g(x)f(x).
(4) ()
Пусть K
– кольцо
с единицей 1
K.
Покажем, что ряд e(x)
= 1+0x+0x2+…
будет
единицей в K[x].
В самом деле, для любого f(x)
=
K[x]
имеем
e(x)f(x)
= =
= f(x).
Равенство f(x)e(x)
= f(x)
доказывается
аналогично.
()
Пусть теперь
кольцо K[x]
имеет
единицу e(x)
=
.
Тогда для любого f(x)
K[x]
имеем
e(x)f(x)
= 1 = f(x)e(x).
В частности, если f(x)
= a
K,
то e(x)a
= =
=
ae(x).
Сравнивая коэффициенты при x0,
получаем e0a
= = 1 = ae0
, т.е.
e0
–
единица кольца K.
(5) () Если K[x] не имеет делителей нуля, то f(x), g(x) K[x] f(x)g(x) = 0 f(x) = 0 g(x) = 0. В частности это верно, если f(x) = a K, g(x) = b K, т.е. кольцо K не имеет делителей нуля.
() Если K без делителей нуля и f(x)g(x) = 0, но f(x) 0, g(x) 0, то в каждом из многочленов f(x), g(x) можно найти ненулевые мономы с наименьшими показателями степеней переменной x : f(x) = , fn 0, g(x) = , gm 0. Тогда 0 = f(x)g(x) = = (fngm)xn+m+… , так что fngm = 0 , что противоречит отсутствию делителей нуля в кольце K. Теорема доказана.
Следствие 1 (о группе обратимых элементов кольца многочленов). Пусть K – область целостности с единицей. Тогда группа обратимых элементов U(K[x]) кольца K[x] равна группе U(K) обратимых элементов кольца K.
Доказательство. Во-первых, U(K) U(K[x]). Действительно, если a U(K), то a –1 K , и ряды a+0x+0x2+… , a –1+0x+0x2+… взаимно обратны в K[x].
С другой стороны, если U(K[x]) , то K[x] – кольцо с единицей, которая (как следует из доказанной теоремы) совпадает с единицей 1 кольца K. Пусть f(x) = fnxn+…+f1x+f0 имеет обратный элемент g(x) = gmxm+…+g1x+g0 , причём fn 0, gm 0. Тогда 1+0x+0x2+… = f(x)g(x) = f0g0+…+fngmxn+m, и при n+m > 0 выполнено равенство fngm = 0, противоречащее отсутствию делителей нуля в K. Значит n = 0 = m, т.е. f(x) = f0 , g(x) = g0 K и f0g0 = 1 = g0f0. Таким образом, f(x) U(K). Следствие доказано.
В частности, если F – поле, то из теоремы и доказанного следствия 1 выводится
Следствие 2 (о кольце многочленов над полем). Пусть F – поле. Тогда F[x] является коммутативным кольцом с единицей без делителей нуля, причём U(F[x]) = U(F) = F \ {0}.
Упражнения: 1. На самом деле кольцом относительно введённых операций сложения и умножения является и множество всех рядов с коэффициентами из K, обозначаемое обычно через K[[x]]. Докажите аналог приведённой выше теоремы для K[[x]].
2.
Докажите, что U(K[[x]])
= { f(x)
=
K[[x]]
| f0
U(K)}.
В частности, если F
– поле, то
U(F[[x]])
= { f(x)
=
F[[x]]
| f0
0}.