§ 13. Наименьшее общее кратное многочленов над полем
Пусть даны ненулевые многочлены f1(x), … , fn(x) F[x]. Многочлен m(x) F[x] называется их общим кратным, если m(x) f1(x), … , m(x) fn(x), т.е. существуют такие многочлены q1(x), … , qn(x), что m(x) = f1(x)q1(x) = … = fn(x)qn(x).
Ясно, что общие кратные существуют у любых многочленов, например, m(x) = 0, m(x) = f1(x)…fn(x). Последнее общее кратное имеет положительную степень d(f1)+…+d(fn), так что среди всех общих кратных многочленов f1(x), … , fn(x) существует общее кратное наименьшей возможной положительной степени, которое называется наименьшим общим кратным многочленов f1(x), … , fn(x).
Более формально, многочлен k(x) является наименьшим общим кратным многочленов f1(x), … , fn(x) тогда и только тогда, когда он одновременно удовлетворяет двум условиям:
(К1): k(x) – общее кратное многочленов f1(x), … , fn(x), т.е. существуют такие многочлены q1(x), … , qn(x) F[x], что m(x) = f1(x)q1(x) = … = fn(x)qn(x).
(К2): k(x) имеет наименьшую положительную степень среди всех ненулевых общих кратных многочленов f1(x), … … , fn(x), т.е. m(x) F[x] \ {0} m(x) f1(x), … … , m(x) fn(x) d(m) d(k).
Множество всех наибольших общих делителей многочленов f1(x), … , fn(x) обозначим через НОК[f1(x), … , fn(x)] или НОК[f1 , … , fn] или совсем кратко [f1 , … , fn ].
Примеры: 1. Ясно, что для любых ненулевых многочлена f(x) и элемента F верно НОК[f, ] = Ff(x) = {f(x) F[x] | F }.
2. Поскольку НОК[f1 , … , fn] содержит ненулевые многочлены одной и той же степени, можно говорить о степени НОК[f1 , … , fn], понимая под этим натуральное число d(НОК[f1 , … , fn]) = d(k), где k(x) – любое ненулевое наименьшее общее кратное многочленов f1(x), … … , fn(x). Из делимости нацело НОК[f1 , … , fn] на все многочлены f1(x), … … , fn(x) следует, что его степень не может быть меньше степени любого многочлена fi(x) (1 i n). С другой стороны, эта степень не может быть больше d(f1…fn) = d(f1)+…+d(fn), т.к. f1…fn является общим кратным рассматриваемых многочленов. Таким образом, справедливы оценки
max{ d(fi) | 1 i n} d(НОК[f1 , … , fn]) d(f1)+…+d(fn).
3.
НОК[x
– ,
x
– ]
=
.
Действительно, равенство очевидно при = , а в случае ни один из многочленов первой степени не делится одновременно и на x – , и на x – (почему ?!), так что степень наименьшего общего кратного равна 2 и (x–)f(x) = НОК[x – , x – ] = (x–)g(x) для некоторых многочленов первой степени f(x) и g(x), которые, как нетрудно проверить (?!), могут быть равны только (x–) и (x–) соответственно.
Эти примеры показывают, во-первых, что действовать прямо по определению при отыскании наименьшего общего кратного утомительно, даже в простейших случаях. Во вторых, видно, что хотя наименьшее общее кратное многочленов определёно не однозначно, эта неоднозначность, видимо, не простирается слишком далеко: все наименьшие общие кратные отличаются друг от друга лишь ненулевым множителем из поля F. Поэтому необходимо найти другие методы нахождения НОК[f1 , … , fn ] и исследовать вопрос об его однозначности.