5. Открытые и замкнутые множества. Отрезок, интервал, промежуток действительной прямой. Ограниченные множества.

∈ — принадлежит ∅ — пустое множество Ε — множество действительных чисел х* — закреплённая точка А* — множество граничных точек : — такое, что ⇒ — следовательно ∀ — для каждого ∃ — существует U_ε(х) — окрестность х по ε Uº_ε(х) — проколотая окрестность х по ε

Итак, Определение 1: Множество М ∈ Ε называется открытым, если для любого у ∈ М найдётся такое ε > 0, что окрестность y по ε строго меньше М С помощью кванторов определение запишется следующим образом: М ∈ Ε — открытое, если    ∀ у∈М   ∃ ε>0 :  U_ε(y) < M

Простым языком — открытое множество состоит из внутренних точек. Примерами открытого множества являются пустое множество, прямая, интервал (а, b)

Определение 2: Точка x* ∈ E называется граничной точкой множества М, если в любой окрестности точки х содержатся точки как из множества М, так и из его дополнения. Теперь с помощью кванторов: х*∈ E — граничная точка, если ∀U_ε(x) ∩ М ≠ ∅ и ∀U_ε(x) ∩ Е\М

Определение 3: Множество называется замкнутым, если ему принадлежат все граничные точки. Пример — отрезок [a, b]

Стоит отметить, что существуют множества, которые одновременно и открытые, и замкнутые. Это, например, всё множество действительных чисел и пустое множество (позднее будет доказано, что это 2 возможных и единственных случая).

Докажем несколько теорем, связанных с открытым и замкнутым множествами.

Теорема 1: Пусть множество А — открытое. Тогда дополнение к множеству А является замкнутым множеством. Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В: В = Е\А Доказывать будем от противного. Предположим, что В — незамкнутое. Тогда существует граничная точка х*, которая не принадлежит В, а значит — принадлежит А. По определению граничной точки окрестность х* имеет пересечение как с В, так и с А. Однако с другой стороны х* является внутренней точкой открытого множества А, поэтому вся окрестность точки х* лежит в А. Отсюда делаем вывод, что множества А и В пересекаются не по пустому множеству. Такого быть не может, поэтому наше предположение неверно и В является замкнутым множеством, ч. т. д. В кванторах доказательство можно записать короче: Предположим, что В — незамкнутое, тогда: (1) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U_ε(x) ∩ В ≠ ∅ (определение граничной точки) (2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U_ε(x) ⊂ А ≠ ∅ (определение открытоко множества) Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Противоречие. В — замкнутое, ч. т. д.

Теорема 2: Пусть множество А — замкнутое. Тогда дополнение к множеству А является открытым множеством. Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В: В = Е\А Доказывать будем от противного. Предположим, что В — замкнутое множество. Тогда любая граничная точка лежит в В. Но так как А — также замкнутое множество, то все граничные точки принадлежат и ему. Однако точка не может одновременно принадлежать множеству и его дополнению. Противоречие. В — открытое множество, ч. т. д. В кванторах это выглядеть будет следующим образом: Предположим, что В — замкнутое, тогда: (1) ∀ х∈А*:х∈A (из условия) (1) ∀ х∈А*:х∈В (из предположения) Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Противоречие. В — открытое, ч. т. д.

Теорема 3: Пусть множество А — замкнутое и открытое. Тогда А = Е или А = ∅ Доказательство: Начнём записывать подробно, но сразу использую кванторы. Предположим, что множество С — замкнутое и открытое, причём С ≠ ∅ и С ≠ Е. Тогда очевидно, что С ⊆ Е. (1) ∃ х∈А*:х∈С ⇒ ∀U_ε(x) ∩ Е\С ≠ ∅ (определение граничной точки, которая принадлежит С) (2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U_ε(x) ⊂ В (определение открытого множества С) Из (1) и (2) следует, что Е\С ∩ С ≠ ∅, но это неверно. Противоречие. С не может быть одновременно и открытым, и замкнутым, ч. т. д.

Пусть a и b—дейсвительнее числа,причем a<b.

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:

[a; b] = {х : α ≤ х ≤ b} — отрезок (сегмент, замкнутый промежуток); (a; ) = {х : а < х < b} — интервал (открытый промежуток); [a;b) = {х : а ≤ х < b}; (a; b] = {х : а < х ≤ b} — полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки); (-∞; b] = {х : х ≤ b};                            [α, +∞) = {х : х ≥ α}; (-∞; b) = {х :  х <b};                         (а, +∞) = {х : х > а}; (-∞, ∞) = {х : -∞<х<+∞} = R — бесконечные интервалы (промежутки).

Числа a и b называются соответственно левым и правым концами этих промежутков. Символы -∞ и +∞ не числа, это символическое обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала 0 влево и вправо.

Пусть х_о—любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки хо называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0. В частности, интервал (х_о-ε,х_о+ε), где ε >0, называется ε-окрестностью точки х_о. Число х_о называется центром.

 

Если х(х₀-ε; х₀ +ε), то выполняется неравенство x₀-ε<х<х ₀+ε, или, что то же, |х-х _о|<ε. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в ε -окрестность точки х_о (см. рис. 97).

Ограниченное множество. 1. Множество действительных чисел называется ограниченным, если существует такое число М > 0, что для любого элемента х данного множества справедливо неравенство . Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число Р, что для любого элемента х данного множества имеет место неравенство (соответственно ).

2. Множество точек в n-мерном пространстве называется ограниченным, если в этом пространстве существует сфера, целиком содержащая это множество.