6. Понятие отображения (функции). Образы и прообразы множеств

Определение. Соответствие, при котором каждому из элементов множества X сопоставялется единственный элемент из множества Y, называется отображением.

Обозначение отображения из множества X в множество Y: X⟶fY.

Множество X называется областью определения отображения и обозначается X=D(f).

E(f) называется множеством значений отображения, и E(f)={y∈Y|∃x∈X,y=f(x)}.

Множество Γ(f) называется графиком отображения. Γ(f)={(x,y)∈X×Y,y=f(x),∀x∈X,y∈Y}.

Пусть f - некоторое отображение из множества X в множество Y. Если x при этом отображении сопоставляется y, то y=f(x). При этом y называется образом x, или значением отображения f в точке x. А x, соответственно, прообразом элемента y.

Исходя из определения отображения, видно, что не требуется, чтобы все элементы в множестве Y являлись образами какого-либо x и при том единственного.

Пример.

Даны два множества X={с,е,н,т,я,б,р,ь} и Y={1,2,3,4,5,9,10,11}

Отображение из множества X в множество Y имеет следующий вид:

{с,↕{1,е,↕2,н,↕3,т,↕4,я,↕5,б,↕9,р,↕10,ь}↕11}

Определение. Совокупность всех элементов из множества X, образом которых является y из Y, назвается полным прообразом y из X. Обозначается: f−1(y).

Определение. Пусть A⊂X. Совокупность всех элементов f(a), a∈A, называется полным образом множества A при отображении f.

Определение. Пусть B⊂Y. Множество всех элементов из X, образы которых принадлежат множеству B, называется полным прообразом множества B.

Пример.

X=Y=R, y=x2.

A=[−1;1]⊂X

Полный образ f(A)=[0;1]

B=[0;1]⊂Y

Полный прообраз f−1(B)=[−1;1]

6. Способы задания функций. Обратная функция, сложная функция.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.

Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q - r=q

Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

1. Понятие о сложной функции Пусть даны две функции  z = f(y)  и  у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций  f  и  g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу  h(x) = f(g(x))  (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Пример. Функцию    можно рассматривать как композицию функций     и  .

Для записи композиции функций употребляется значок . Например, запись   означает, что функция  h  получена как композиция функций  f  и  g  (сначала применяется  g, а затем  f), т. е. . Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: . Чтобы можно было вычислить сложную функцию  h = f(g(x)), надо, чтобы число  g(x), т. е. значение функции  g, попадало в область определения функции  f .

Пример. Вычисляя значения функции , необходимо брать только те числа  х, для которых , т. е. те, для которых число попадает в область определения функции .

2. Взаимно обратные функции Пусть дана функция  у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости  у = f(x)  можно переменную  х  однозначно выразить через переменную  у. Выразив  х  через  у, мы получим равенство вида  х = g(y). В этой записи  g  обозначает функцию, обратную к  f. Если функция  g  является обратной для функции  f, то и функция является обратной для функции  g. Пару функций  f  и  g  называют взаимно обратными функциями.

3. График обратной функции Если мы одновременно построим графики функций  f  и  g  в одной и той же системе координат, откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат – их значения, то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой  у = х.

Свойства взаимно обратных функций Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций. 1) Тождества. Пусть  f  и  g – взаимно обратные функции. Тогда :  f(g(y)) = у  и  g(f(x)) = х. 2) Область определения. Пусть  f  и  g  – взаимно обратные функции. Область определения функции  f  совпадает с областью значений функции  g, и наоборот, область значений функции  f  совпадает с областью определения функции  g. 3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций. 4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой  у = х.