6. Числовые последовательности.

Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров x₁,x₂,...x_n Числа x₁,x₂,...,x_n — называются элементами последовательности, символ x_n — общим элементом, а число n — его номером. Сокращенно последовательность обозначается символом {x_n}.

Счетным множеством называется множество эквивалентное множеству натуральных чисел. Следовательно любая последовательность является счетным множеством.

Предел последовательности

Окрестностью точки x₀ называется любой интервал, содержащий эту точку.

δ — окрестностью точки x₀ U_δ (x₀) называется интервал длиной 2δ с центром в этой точке.

Определение предела последовательности

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого ε > 0 найдется номер n₀ = n₀(ε) ∈ N такой, что для всех номеров n > n₀ выполняется неравенство |x_n — a| <ε

Число b называется пределом последовательности {x_n}=x₁, x₂,..., x_n (lim {x_n} = b; n→∞)

Последовательность {x_n}, имеющая конечный предел а, называется сходящейся. Последовательность, имеющая бесконечный предел или вообще не имеющая предела, называется расходящейся

Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1.

Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теормера 6 О сходимости подпоследовательности

Теорема 7 Об арифметических действиях над сходящимися последовательностями

Теорема 8 Критерий Коши сходимости последовательности

Для того чтобы последовательность {x_n} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы ∀ε >0 ∃номер n₀ такой, что ∀n > n₀ и любого p∈N выполнялось неравенство |x_n+p - x_n| <ε

Если предел последовательности равен нулю, то ее называют бесконечно малой

6. Ограниченные и монотонные последовательности.

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется ограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера ,

Последовательность называется неограниченной, если существует такое число , что существует такой номер , что

Примеры исследования последовательности на ограниченность

Пример

Задание. Исследовать последовательность на ограниченность.

Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого натурального номера выполняются неравенства:

6. 

То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей, а значит, является и ограниченной.

Ответ. Последовательность ограничена - снизу нулем, а сверху единицей.

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого ,

Пример

Последовательность является возрастающей, так как для любого ,

Можно дать еще одно альтернативное определение возрастающей последовательности.

Определение

Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого ,

Определение

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого ,

Или,

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого ,

Пример

Последовательность является убывающей, так как для любого ,