4 Этап: построение вектора-градиента.

Построение вектора-градиента осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче. Построим данный вектор на графике (рис. 5.4). Отметим также на данном графике стрелкой направление, обратное вектору-градиенту, – направление минимизации целевой функции F(X).

5 Этап: построение прямой целевой функции.

Построение прямой целевой функции F(X) осуществляется аналогично, как и в предыдущей задаче (результат построения приведен на рис. 5.4).

Рис. 5.4. Построение целевой функции F(x) и вектора-градиента С

6 Этап: определение оптимума целевой функции.

Перемещая прямую F(x) параллельно самой себе в направлении, обратном вектору-градиенту, определяем крайнюю точку (точки) ОДР. Согласно графику (рис. 5.5), такой точкой является точка О с координатами (0; 0).

Рис. 5.5. Определение точки минимума целевой функции

Подставляя координаты точки минимума в целевую функцию, определяем ее оптимальное (минимальное) значение, которое равно 0.

Ответ: при заданных ограничениях минимальное значение целевой функции F(Х)=0, которое достигается в точке О (0; 0).

Пример 5.3. Решить следующую задачу линейного программирования геометрическим методом:

Решение:

Рассматриваемая задача линейного программирования задана в канонической форме, выделим в качестве базисных переменные x₁ и x₂.

Составим расширенную матрицу и выделим с помощью метода Жордана-Гаусса базисные переменные x₁ и x₂.

Умножим (поэлементно) первую строку на –3 и сложим со второй:

.

Умножим вторую строку на :

.

Сложим вторую с первой строкой:

.

В результате система ограничений примет следующий вид:

Выразим базисные переменные через свободные:

Выразим целевую функцию также через свободные переменные, для этого подставим полученные значения базисных переменных в целевую функцию:

.

Запишем полученную задачу линейного программирования

Так как переменные x₁ и x₂ неотрицательные, то полученную систему ограничений можно записать в следующем виде:

Тогда исходную задачу можно записать в виде следующей эквивалентной ей стандартной задаче линейного программирования:

Данная задача имеет два проектных параметра, следовательно, возможно ее решение геометрическим методом.

1 этап: построение прямых, ограничивающих область допустимых решений (ОДР).

Рассмотрим систему ограничений задачи линейного программирования (для удобства пронумеруем неравенства):

Построим прямые, соответствующие каждому неравенству (рис. 5.6). Прямые пронумеруем согласно принятой ранее схеме.

2 Этап: определение решения каждого из неравенств системы ограничений.

С помощью контрольных точек определим полуплоскости – решения каждого из неравенств, и пометим их на графике (рис. 5.6) с помощью стрелок.

3 Этап: определение одр задачи линейного программирования.

Найденные полуплоскости (решения каждого из неравенств системы ограничений) не имеют общего пересечения (так решения неравенства I противоречат в целом остальным неравенствам системы ограничений), следовательно, система ограничений не совместна и задача линейного программирования в силу этого не имеет решения.

Рис. 5.6. Фрагмент MathCAD-документа: