Тема II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Производная функции.

П усть на некотором промежутке определена функция . Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , если

(при условии, что предел существует):

.

Производную обозначают также , .

Операцию нахождения производных называют дифференцированием функции.

Если (или ), то говорят, что функция в точке имеет бесконечную производную.

Геометрический смысл производной. , где  угол наклона касательной к графику функции в точке (Рис. 3).

Экономический смысл производной. Пусть совокупные затраты (издержки) по продаже единиц продукции задаются функцией . Производная определяет предельные издержки при заданном объеме продаж , показывающие, на сколько изменяются затраты, если объем продаж увеличивается с до единиц.

Производная суммы, произведения, частного (правила дифференцирования).

.

П роизводная сложной функции. .

Производные основных элементарных функций.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ;

8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ;

В частности, , , .

Формулы таблицы производных для случая сложной функции видоизменяются следующим образом:

; ; ; ; ; ; .

Дифференциал функции. Функция, имеющая конечную производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Д ля дифференцируемой в точке функции приращение в этой точке может быть представлено в виде суммы линейной относительно части (дифференциала) и бесконечно малой более высокого порядка малости, чем .

Дифференциал выражается через производную по формуле .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях основано на приближенном равенстве , которое имеет место при малых . Из равенства в точке вытекает следующая приближенная формула , называемая формулой линеаризации функции.

Производные высших порядков. Производную функции называют производной первого порядка или первой производной заданной функции. Производная первого порядка, в свою очередь, является некоторой функцией от . Ее также можно дифференцировать. Производную от производной первого порядка исходной функции называют производной второго порядка или второй производной . Обозначают или . Аналогично определяются производные и более высоких порядков:

, , …….., .

Правило Лопиталя.

Е сли дифференцируемые функции и при одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, то предел отношения их производных, если он существует (конечный или бесконечный), равен пределу отношения самих функций

.

Таким образом, правило Лопиталя позволяет вычислять пределы функций в тех случаях, когда имеет место неопределённость вида или .

Замечание. В случае, если после первого дифференцирования неопределенность сохраняется, правило Лопиталя можно применять повторно.

Правило Лопиталя позволяет также раскрывать неопределённости других видов , но только после предварительных преобразований, приводящих эти неопределённости к видам или .

Достаточное условие возрастания (убывания) функции. Возрастание и убывание дифференцируемой функции характеризуется знаком её производной: если в каждой точке интервала , то на этом интервале функция возрастает (убывает).

Понятие локального экстремума. Пусть функция непрерывна в окрестности точки , включая саму эту точку. Точка , называется точкой локального⁷ максимума (минимума) функции , если для всех , достаточно близких к точке , выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума функции называют ее точками экстремума.

Экстремумами функции называются значения функции в точках экстремума. Если  точка экстремума функции, то точка , расположенная на графике, называется точкой экстремума графика функции.

Необходимое условие экстремума. В точке экстремума производная равна нулю или не существует.

Точки, в которых равна нулю или не существует, но при этом функция сохраняет непрерывность, называются критическим точками по первой производной или точками возможного экстремума.

Заметим, что функция может иметь экстремум только в критической точке, но не в любой критической точке функция имеет экстремум. Решить вопрос о том, будет данная критическая точка точкой экстремума или нет, можно с помощью достаточных условий.

Первое достаточное условие локального экстремума. Пусть – непрерывна в некоторой окрестности критической точки и имеет во всех точках этой окрестности производную, за исключением, быть может, самой точки . Если при переходе слева направо через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке функция имеет локальный максимум , если меняет знак с минуса на плюс, то в точке локальный минимум .

Схема исследования функции на экстремум с помощью .

1. Найти область определения функции .

2. Найти критические точки, которые лежат в области определения функции .

3. Найти промежутки монотонности, точки максимума и минимума функции.

4. Найти точки экстремумов графика функции.

Второе достаточное условие локального экстремума. Пусть в окрестности критической точки имеет непрерывную вторую производную . Тогда если , то есть точка локального максимума функции , если , то точка локального минимума. (Если , то вопрос остаётся открытым).

Схема отыскания наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке.

Согласно второй теореме Вейерштрасса непрерывная на отрезке функция принимает на нем свои наименьшее и наибольшее значения, которые находятся по следующей схеме.

1. Найти критические точки, которые принадлежат рассматриваемому отрезку.

2. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка. Выбрать среди них наименьшее и наибольшее значения.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции. График функции называется выпуклым (вогнутым) в интервале , если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Точка графика функции , отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, в которой существует касательная, называется точкой перегиба графика функции.

Необходимое и достаточное условие выпуклости (вогнутости).

Выпуклость и вогнутость графика функции характеризуется знаком второй производной: если во всех точках интервала выполняется , то график функции на этом интервале выпуклый, а если - вогнутый.

Точки , в которых равна нулю или не существует, называются критическими точками по второй производной или точками возможного перегиба функции.

Необходимое и достаточное условия перегиба. Пусть функция имеет вторую производную во всех точках некоторой окрестности точки за исключением, быть может, самой этой точки, а в точке вторая производная либо равна нулю, либо не существует. Если при переходе через точку вторая производная меняет знак, то эта точка есть точка перегиба функции.

Схема исследования графика функции на выпуклость, вогнутость, перегиб.

1. Найти область определения функции .

2. Найти точки возможного перегиба, принадлежащие .

3. Найти промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба функции.

4. Найти точки перегиба графика функции.

Асимптоты графика функции. Прямая является асимптотой графика функции , если расстояние от точки графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от асимптоты, может приближаться и с обеих сторон, может пересекать асимптоту, переходя с одной стороны на другую.

Асимптоты бывают вертикальными, наклонными и горизонтальными. Последние, правда, являются частным случаем наклонных. Заметим, что не всякий график функции имеет асимптоты.

Вертикальные асимптоты. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если выполняется хотя бы одно из условий:

, .

Другими словами, прямая является вертикальной асимптотой графика , если точка  точка разрыва II-го рода функции , причём бесконечного разрыва.

Наклонные асимптоты. График функции имеет наклонную асимптоту при (при ), если существуют конечные пределы и , тогда уравнение наклонной асимптоты:

, где , .

Если рассматриваемые пределы не существуют или бесконечны, то график функции не имеет наклонных асимптот. Если значения указанных пределов не зависят от того, к чему стремится , к или к , то график функции имеет общую асимптоту при .

Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных при .

Схема полного исследования функции.

1. Найти область определения функции, точки разрыва и вертикальные асимптоты графика функции.

2. Выяснить симметрию графика функции (чётность, нечётность), периодичность, найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно), полагая вначале , а затем решая уравнение .

3. Найти наклонные и горизонтальные асимптоты, а в, случае их отсутствия, определить поведение функции при .

4. Найти интервалы возрастания, убывания и точки экстремума графика функции.

5. Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции.

6. По результатам исследования построить график функции.