Решение типового варианта

Задания контрольной работы№1

• В задачах 1.а 1.f найти пределы.

• В задачах 1.g, 1.h найти пределы по правилу Лопиталя.

• В задаче 2.a найти ФОП¹¹.

• В задачах 2.b2.d найти .

• В задаче 2.e провести полное исследование функции и построить график.

• В задаче 2.f применить дифференциал для вычисления приближенного значения функции.

• В задаче 3.а найти частные производные ФНП¹².

• В задаче 3.b найти точки экстремума функции.

• Задача 4.a. Совокупные затраты (издержки) по продаже единиц продукции задаются функцией . Предельные издержки при заданном объеме продаж , определяемые как , показывают, на сколько изменяются затраты, если объем продаж увеличивается с до единиц. При заданных функции издержек и объеме продаж A ед. определить предельные издержки.

• Задача 4.b. Известна функция спроса , показывающая зависимость количества единиц проданных товаров от цены единицы товара . Найти:

1. при какой цене на товар выручка от продаж будет максимальной;

2. коэффициент эластичности спроса при цене ;

3. на сколько уменьшится спрос при увеличении цены на с%.

Вариант 0

1. Пределы

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

2.Дифференциальное исчисление ФОП

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

3. Дифференциальное исчисление ФНП

1. 

2. 

4. Приложения в экономике

1. , , A=200.

2. , b=60, c=20.

Выполнение заданий

• 1.a) Найти предел .

Решение. В данном примере имеется неопределенность . Вынесем из каждой скобки старшую степень с соответствующим коэффициентом:

.

• 1.b) Найти предел .

Решение. В данном примере имеется неопределенность . Умножим и разделим данное иррациональное выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное к нему выражение:

.

При вычислении предела использовалась эквивалентность:

~ при .

• 1.c) Найти предел .

Решение. В данном примере имеется неопределенность . Найдем корни числителя и разложим числитель и знаменатель на множители:

.

• 1.d) Найти предел .

Решение. В данном примере имеется неопределенность . Домножим числитель и знаменатель дроби на иррациональное выражение, сопряженное к числителю:

.

• 1.e) Найти .

Решение. В данном примере имеется неопределенность .

.

При вычислении предела использовалась эквивалентности при :

~ , ~ , ~ = .

• 1.f) Найти предел .

Решение. В данном примере имеется неопределенность . .

В вычислениях использовалcя предел .

• 1.g) Найти предел по правилу Лопиталя.

Решение. В данном примере имеется неопределенность :

• 1.h) Найти предел по правилу Лопиталя.

Решение.

.

В данном примере правило Лопиталя применялось дважды, так как неопределенность сохранилась после первого дифференцирования.

• 2.a) Найти первую и вторую производную функции

.

Решение. Преобразуем выражение и продифференцируем каждое слагаемое:

.

В примере использовалась формула дифференцирования степенной функции .

• 2.b) Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся формулой дифференцирования частного:

.

• 2.с) Найти производную функции .

Решение. При дифференцировании степенно-показательной функции применяется метод логарифмического дифференцирования. Прежде чем дифференцировать, прологарифмируем заданную функцию:

.

Продифференцируем полученное равенство. В левой части при этом воспользуемся формулой производной сложной функции , учитывая, что представляет собой функцию от :

, ,

, ,

, .

• 2.d) Найти производную функции .

Решение. Представим как функцию от :

.

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

или

.

• 2.e) Исследовать функцию и построить график.

Решение.

1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки : . При ; при , так как

, .

Следовательно, прямая вертикальная асимптота графика функции.

2. Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как и . Функция не периодическая. При получаем . Следовательно, график функции пересекает оси координат в единственной точке .

3. Находим наклонные асимптоты вида :

, ,

следовательно, при и при график имеет наклонную асимптоту .

Горизонтальных асимптот нет.

4) Находим интервалы возрастания, убывания и экстремумы функции, используя первую производную:

, при ;

не существует при , но точка не принадлежит области определения, поэтому и не является критической для данной функции. Заполняем таблицу:

		-2		-1		0
	+	0	-		-	0	+
		max				min

,

следовательно,  точка максимума,  точка минимума графика функции.

5) Находим интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба, используя вторую производную:

;

		-1
	-		+

не существует при , но точка не принадлежит области определения. Следовательно, точек перегиба нет. При и график функции выпуклый, а при , и график функции вогнутый.

И спользуя результаты исследования, строим график (рис.6 ).

• 2.f) Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение .

Решение. Воспользуемся приближенной формулой или ,

где , , .

Вычислим , .

По формуле приближённых вычислений получаем .

• 3.a) Найти частные производные функции .

.

Решение. Запишем функцию в виде

.

.

• 3.b)Найти точки экстремума функции

.

Решение. Данная функция определена во всей плоскости: , . Найдём частные производные первого порядка:

, .

Для нахождения критических (стационарных) точек воспользуемся необходимым условием экстремума: , . Составим и решим систему уравнений.

.

Итак, получили одну критическую точку: .

Для исследования критической точки с помощью достаточного условия найдём частные производные второго порядка и вычислим их значения в точке М:

, ,

.

Заметим, что значения частных производных второго порядка в данном примере не зависят от координат точки М. Получим:

.

Так как дискриминант ,

в точке есть экстремум. Так как А>0, то в этой точке функция имеет локальный минимум.

• 4.a) Совокупные затраты по продаже единиц продукции задаются функцией , . При заданном объеме продаж А=200 ед. определить предельные издержки.

Решение. Предельные издержки при заданном объеме продаж равны производной функции затрат . Предельные издержки показывают изменение затрат торговли при увеличении на единицу объема продаж.

Найдем :

(у.е.)

Вычислим затраты торговли по продаже 200 ед. продукции:

.

Значит, при увеличении объема продаж с 200 до 201 ед. затраты увеличиваются на 5,75у.е.

• 4.b) По заданной функции спроса найти:

1. при какой цене на товар выручка от продаж будет максимальной;

2. коэффициент эластичности спроса при цене ;

3. на сколько уменьшится спрос при увеличении цены на 9%.

Решение.

1. Запишем функцию выручки: . Чтобы найти, при какой цене выручка максимальная, исследуем функцию на экстремум:

,

при .

 точка максимума функции, так как производная при переходе через эту точку меняет знак с + на . Значит, выручка будет максимальной при цене

2. Найдем коэффициент эластичности спроса при цене :

, =

=1,78<1.

2. Если , то спрос эластичный, и выручка  убывающая функция цены. Если , то спрос неэластичный и выручка  возрастающая функция цены. Коэффициент эластичности , взятый по абсолютной величине, показывает, на сколько уменьшается (увеличивается) спрос при увеличении (уменьшении) цены на 1%.

В нашем случае при цене коэффициент , значит, спрос эластичен. При увеличении цены на 9% спрос уменьшится на 16%. Выручка будет убывать при дальнейшем увеличении цены.