3.1.4 Метод конкурирующих точек

Рассмотрим на примере скрещивающихся прямых а и b использование метода конкурирующих точек для определения видимости элементов чертежа. Заметим, что скрещивающиеся прямые теоретически всегда имеют одну или две пары конкурирующих относительно и точек.

Так, прямые а и b имеют две пары таких точек: А и В – конкурирующие относительно , D и С – относительно . Точки Е и F прямых l и n – конкурирующие относительно , точки G и Q прямых d и k являются конкурирующими относительно .

Ответим на вопрос: конкурирующие точки какой из прямых а или b видны относительно плоскостей проекций и ?

Так как точка С выше точки D (дальше удалена от плоскости - см. на точки и на рисунке 3.3), то относительно плоскости видна точка С прямой b. Так как точка А дальше удалена от плоскости , чем точка В (см. точки и на рисунке 3.3), то относительно плоскости видна точка А прямой а.

При решении вопросов видимости следует помнить, что изображаемые геометрические элементы располагаются между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций.

3.2 Теорема о проецировании прямого угла

В общем случае при проецировании прямого угла, образованного пересекающимися или скрещивающимися прямыми, он проецируется на плоскость проекций с искажением.

Теорема о проецировании прямого угла выделяет частный, но важный на практике случай, когда прямой угол проецируется на плоскость проекций без искажения: прямой угол проецируется на плоскость проекций в прямой угол, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций, а вторая не перпендикулярна ей.

Действительно, пусть сторона АВ прямого угла АВС параллельна плоскости П₁. Требуется доказать, что проекция его: угол А₁В₁С₁ = 90⁰ (Рисунок 3.4)

Прямая АВ перпендикулярна плоскости α, т.к. АВ перпендикулярна двум прямым этой плоскости ВС и ВВ₁, проходящим через точку В.

Прямая АВ и ее проекция А₁В₁ – две параллельные прямые, а потому А₁В₁ также перпендикулярна плоскости α. Следовательно, А₁В₁ перпендикулярна В₁С₁.

Докажем теперь, что если ортогональная проекция угла АВС на некоторую плоскость П₁ является прямым углом и одна из сторон угла параллельна той же плоскости, то угол АВС – прямой (Рисунок 3.4).

Прямая А₁В₁ перпендикулярна плоскости α, т.к. образует прямые углы с В₁С₁ по условию и с ВВ₁ по построению. Но А₁В₁ параллельна АВ. Значит, и прямая АВ ┴α.

Следовательно, угол между АВ и ВС – прямой.

В

А 90⁰

α С

В₁

С₁

А₁ 90⁰

П₁

а₂ В₂

с₂ d₂

f₂

90⁰

E₂

f₁ E₁

В₁ d₁

а₁ с₁

90⁰

Контрольные вопросы по теме: «Линии. Комплексные чертежи прямых линий»

1. Классификация линий.

2. Как определить положение прямой в пространстве?

3. Какое положение могут занимать прямые в пространстве?

4. Какие прямые называют прямыми общего положения?

5. Какие прямые называют прямыми частного положения?

6. Какие прямые называют горизонтально, фронтально и профильно-проецирующими прямыми?

7. Назовите возможные относительные положения двух прямых линий.

8. Какие прямые называют параллельными, пересекающимися и скрещивающимися прямыми?

9. Какой метод применяется для определения видимости элементов? В чем его сущность?

10. Сформулируйте и докажите теорему о прямом угле.

Комплексный чертеж плоскостей

• Плоскость. Способы задания плоскости на чертеже.

• Положение плоскости относительно плоскостей проекций.

• Главные линии плоскости.

Литература

Бубенников А.В. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа, 1985 – 288 с.

(с. 43-56)

Фролов С.А. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа, 1983 – 215 с.

Чекмарев А.А. Инженерная графика. – М.: Высшая школа, 1988 – 335 с.

Лагерь А.И., Колесникова Э.А. Инженерная графика. – М.: Высшая школа, 1985 – 176 с., (с. 28-38)

Крылов И.И. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа, 2001 – 224 с., (с.29-43)