Элементы математической статистики

1. Распределение частот

Совокупность всех возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения, или совокупность всех возможных наблюде­ний, проводимых в одинаковых условиях над некоторой случайной ве­личиной, называется генеральной совокупностью. Генеральная сово­купность может содержать конечное или бесконечное число элементов. Отобранные из генеральной совокупности объекты (результаты на­блюдений над конечным числом объектов из генеральной совокупности) называются выборочной совокупностью или выборкой. Число N элемен­тов генеральной совокупности и число п элементов выборочной совокуп­ности будем называть объемами генеральной и выборочной совокупнос­ти соответственно.

Расположение выборочных наблюденных значений случайной вели­чины в порядке неубывания называется ранжированием.

Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантой, а изменение этого значения – варьированием.

Численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных называется частотой варианты. Если – индекс варианты, то – число измеренных значений i-й варианты, отношение к общей сумме частот всех вариант называется относительной частотой варианты и обозначается .

Дискретным вариационным рядом распределения (распределением частот) называется ранжированная совокупность вариант с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Если наблюдаемая случайная величина непрерывна или дискретная величина такова, что число ее возможных значений велико, то для построения вариационного ряда используют интервальный ряд распределения. В этом случае весь возможный интервал варьирования разбивают на конечное число частичных интервалов и подсчитывают частоту по­падания значений величины в каждый частичный интервал.

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная последовательность интервалов варьирования случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений случайной величины.

2. Полигон и гистограмма

Наблюдаемые данные, представленные в виде вариационного ряда, можно изобразить графически. Если вариационный ряд дискретной случайной величины представить в виде ломанной линии, связывающей на плоскости точки с координатами , то такой график называют полигоном.

Интервальный вариационный ряд графически изображают с помощью гистограммы. Для ее построения в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладывают отрезки частичных интервалов варьирования и на этих отрезках как на основаниях строят прямоугольники с высотами, равными частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

Графическое представление вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений.

3. Точечные оценки

Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на осно­вании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К чис­лу таких оценок относятся выборочная средняя и выборочная диспер­сия.

Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое по­лученных по выборке значений:

,

где – варианта выборки; – частота варианты; – объем выборки.

Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней: .

Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистиче­ской оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, если не равно – то смещен­ной.

Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выбо­рочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной совокупности и яв­ляется смещенной оценкой.

Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на величину и получают . Величину называют несмещенной или «исправленной» выборочной дисперсией.

20