2. Дифференциальные уравнения первого порядка
2.1. Уравнения вида
,
или
,
или
называются уравнениями с разделяющимися переменными.
2.2. Уравнение вида
где
непрерывные
в некоторой области и однородные функции
одной и той же степени, называется
однородным.
Функция
называется
однородной
степени m
если для любого t
выполняется
равенство
С помощью замены
однородное
уравнение сводится к уравнению с
разделяющимися переменными
и
.
2.3. Уравнение вида
,
линейное относительно неизвестной
функции
,
называется неоднородным
линейным дифференциальным уравнением
первого порядка.
Общее решение линейного уравнения всегда можно записать в виде
,
где С – произвольная постоянная.
3. Линейные дифференциальные уравнения
2-го порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида
,
где
-
известная функция, называющаяся линейными
дифференциальным уравнением n-2-го
порядка с постоянными коэффициентами.
Если
то
уравнение называется однородным,
в противном случае – неоднородным.
Если f(x) – непрерывная функция, то общее решение уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Решение однородного уравнения
можно найти, используя алгебраические методы. Для этого заменяем производные на степенные функции, показатель степени которых соответствует порядку производной. Получаем характеристическое уравнение вида
.
Общее решение однородного уравнения определяется в зависимости от вида корней характеристического уравнения.
Правило 1. (корни
характеристического уравнения простые
и действительные). Если
корни характеристического уравнения
различные действительные числа
,
то общее решение уравнения имеет вид:
,
где
- произвольные постоянные.
Правило 2. (корни характеристического
уравнения комплексно-сопряженные).
Если корни характеристического
уравнения комплексно-сопряженные числа
то
общее решение уравнения имеет вид:
,
где
- произвольные постоянные.
Правило 3. (корни
характеристического уравнения
действительные, кратные). Если
корни характеристического уравнения
равные действительные числа
,
то общее решение уравнения имеет вид:
,где
- произвольные постоянные.
Частное решение неоднородного уравнения может быть подобрано по виду правой части. Если правая часть – постоянная величина, то частное решение дифференциального уравнения имеет вид:
-
,
если нуль является корнем характеристического
уравнения;
-
,
если нуль не является корнем
характеристического уравнения.
Здесь А произвольная постоянная, для определения значения которой частное решение подставляется в исходное дифференциальное уравнение.
Числовые ряды
1. Основные определения
Выражение
,
где
– некоторые числа, называют числовым
рядом,
или просто рядом. Числа
называют членами
ряда,
а
– общим
членом ряда.
Ряд считается заданным, если существует
правило, позволяющее находить по любому
номеру
соответствующий член ряда. Чаще всего
это правило задается в виде формулы
общего члена.
Сумма
первых
членов
ряда вида
называется
n-ой
частичной суммой.
Ряд
называют сходящимся,
если существует конечный предел
последовательности частичных
сумм ряда. Сам предел при этом называют
суммой ряда и обозначают 
.
Если предел частичных сумм не существует
или бесконечен, то ряд расходится.
Сумму сходящегося ряда можно вычислить
с любой точностью, заменяя ее частичной
суммой соответствующего порядка. Для
расходящегося ряда это не так. Поэтому
сходимость или расходимость конкретного
ряда является основным вопросом для
исследования.
Если
ряд сходится, то
– необходимое
условие сходимости ряда.
Обратное, вообще говоря, неверно. Члены
ряда могут стремиться к нулю, но ряд при
этом может расходиться.