2. Некоторые достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

1. Признак сравнения. Рассмотрим два числовых ряда с положительными членами   и  . Если при всех , начиная с некоторого номера, , то из сходимости ряда следует сходимость ряда . Наоборот, из расходимости ряда следует расходимость ряда .

При использовании признака сравнения нужно иметь эталонный ряд, про сходимость которого известно заранее. В качестве таких рядов чаще всего берут обобщенный гармонический ряд  , который сходится при и расходится при , или геометрический ряд , который сходится при и расходится при .

2. Признак сходимости Даламбера. Пусть для ряда с положительными членами существует предел . Тогда: если , то ряд сходится; если , то ряд расходится. При признак Даламбера ответа не дает: ряд может, как сходиться, так и расходиться.

3. Признаки сходимости знакопеременных рядов

Если члены числового ряда имеют разные знаки, то ряд называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд вида , где .

Знакопеременный ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин членов ряда, т.е. ряд вида . Если ряд из абсолютных величин расходится, а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся. Исследование знакопеременного ряда   начинают с исследования на сходимость ряда из абсолютных величин  методами, которые применяются для рядов с положительными членами. Если такой ряд сходится, то получен ответ: ряд сходится абсолютно.  

Если ряд из абсолютных величин расходится, то для знакочередующегося ряда можно применить признак Лейбница: если члены ряда стремятся к нулю, монотонно убывая, то ряд сходится, по крайней мере, условно.  

Степенные ряды

1. Основные определения

Выражение

,

где – некоторые функции, называют функциональным рядом.

Функциональный ряд    , где – постоянные, образующие числовой ряд , называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале   с центром в точке  , который называется интервалом сходимости. Число – радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле . Сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости необходимо исследовать специально для конкретного ряда.

2. Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки  и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд вида : = ,

называется рядом Тейлора для функции  в точке . При такой ряд называют также рядом Маклорена. Функция  может быть разложена в степенной ряд на интервале , если существует степенной ряд, сходящийся к  на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то это ряд Тейлора. Приведем разложения в ряд Тейлора для некоторых элементарных функций:

1) ;

2) ;

3) .

Основы ТеориИ вероятностей

1. Случайные события

В результате многократного повторения одних и тех же условий, которые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появление или непоявление в них некоторого события. Все события подразделяются на три вида:

• достоверные, которые обязательно происходят в результате испытания;

• невозможные, которые никогда не происходят в результате испытания;

• случайные, которые могут произойти, а могут не произойти в результате испытания.

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей массовых однородных случайных событий.

Будем обозначать случайные события прописными буквами А, В, С или . Случайные события называются несовместными если появление одного из них в результате испытания исключает появление другого. Два события или называются противоположными, если они несовместны и непоявление одного из них в результате испытания означает появление другого. Если события таковы, что в результате испытания обязательно произойдет одно из них, то они образуют полную группу.