Контрольные вопросы

1. Что представляет собой многоканальная разомкнутая СМО?

2. Как осуществляется моделирование имитационной модели СМО?

3. Что представляет собой имитационная модель разомкнутой СМО?

4. Какому закону распределения подчиняется время обслуживания?

Лабораторная работа №10 Изучение функционирования одноканальной замкнутой смо - системы массового обслуживания с простейшими потоками

1. Цель работы

Рассмотрим сначала одноканальную замкнутую систему массового обслуживания с неограниченным временем ожидания требований и с простейшим потоком. Эта система наиболее полно отвечает реалиям жизни и характеризуется следующими особенностями:

• поступление требований в систему на обслуживание происходит по одному, то есть вероятность прибытия двух и более требований в один момент времени­ ни очень мала, и ею можно пренебречь (поток требований ординарный);

• вероятность поступления последующих требований в любой момент време­ни ни не зависит от возможности их прибытия в предыдущие моменты - поток требований без последействия;

• поток требований стационарный

1.2 Задание на лабораторную работу

Требуется определить:

• коэффициент использования канала обслуживания;

• среднюю длину очереди, то есть среднее число требований, находящихся в очереди, ожидая освобождение канала обслуживания;

• среднее число требований, находящихся в системе, то есть в очереди и в ка­нале обслуживания

3. Краткие теоретические сведения

Функционирование любой системы массового обслуживания можно представить через все возможные ее состояния и интенсивность перехода из одного состояния в другое. Основными параметрами функционирования системы массового обслу­живания являются вероятности ее состояния, то есть возможность наличия п тре­бований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) в системе - P_n. Так, вероятность Р_о характеризует состояние, когда в системе нет требований и канал обслуживания простаивает.

Важным параметром функционирования системы массового обслуживания является также среднее число требований, находящихся в системе, то есть в оче­реди на обслуживание - N_syst, а также средняя длина очереди – N_och. Исходными параметрами, характеризующими систему массового обслуживания, являются:

число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) - т;

интенсивность поступления одного требования на обслуживание, то есть число поступлений требований в единицу времени - λ; интенсивность обслуживания требований - μ.

Интенсивность поступления требования на обслуживание определяется как величина, обратная времени возвращения требования в систему, - t_p:

λ=1/ t_p .

Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обрат­ная времени обслуживания одного требования, - t₀:

μ=1/ t₀

Рассмотрим сначала решение задачи аналитическим методом. Состояние сис­темы массового обслуживания будем связывать с числом требований, находящих­ся в системе:

• в системе нет ни одного требования - вероятность состояния Р_о;

...

• в системе находится одно требование - вероятность состояния Р₁;

• в системе находится п требований - вероятность состояния Р_n;

...

• в системе находится т требований - вероятность состояния Р_т.

Представим все возможные состояния системы массового обслуживания в виде размеченного графа состояний (рис. 1). Каждый прямоугольник графа, коли­чественно оцениваемый вероятностью состояний Р_п, определяет одно из всех воз­можных состояний. Стрелки указывают, в какое состояние система может перей­ти и с какой интенсивностью.

Рисунок 1 – Размеченный граф состояний одноканальной замкнутой СМО

Первый прямоугольник с вероятностью Р_о определяет состояние системы мас­сового обслуживания, при котором канал обслуживания простаивает из-за отсут­ствия требований в ней. Из этого положения система массового обслуживания может перейти только в состояние Р₁; тогда в системе появится одно требование, так как входной поток их ординарный. С интенсивностью μ система может перей­ти также из состояния Р₁ в состояние P₀ если единственное находящееся в систе­ме требование было обслужено раньше, чем появилось новое.

Рассмотрим установившийся режим работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики СМО постоянны во времени, например в течение часа. Тогда интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы. Эти балансы выглядят так:

;

;

;

…

;

…

.

Обозначим величину λ/μ через ψ и назовем ее коэффициентом нагрузки. Из первого уравнения можно найти значение :

Из второго уравнения найдем :

Но первый член

Следовательно, первый и третий сокращаются:

Из третьего уравнения найдем значение

.

Но первый член

Следовательно, первый и третий сокращаются:

Используя очевидное равенство

Получим,

Отсюда

Для установившегося режима работы системы средняя интенсивность поступ­ления требований во входном потоке равна аналогичной характеристике выхода требований из канала обслуживания:

где - среднее число обслуживаемых требований, находящихся в системе. Из данного равенства можно легко найти среднее число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок), находящихся в системе, :

Среднее же число требований (машин), находящихся в очереди, будет вычис­лено так:

Пусть задан комплект машин системы «Кран-машины». Кран погружает за один рабочий цикл g_e 1 т груза. Грузоподъемность машины g_a=7 т. Число машин, обслуживаемых краном, т = 5. Время рабочего цикла крана t_c = 18 с, а время воз­вращения машины к крану t₀ = 10 мин. Тогда время погрузки одной машины со­ставит:

Интенсивность погрузки краном машин составит

Интенсивность же поступления машин на погрузку составит:

Коэффициент , определяемый по формуле , в нашей задаче будет равен 0,207.

Вероятность простоя крана в этом случае составит:

А коэффициент использования крана составит:

Среднее число машин, находящихся в системе:

Среднее число машин, находящихся в очереди: