Лабораторная работа № 12 Изучение функционирования многоканальной замкнутой смо-системы с простейшими потоками

1.1 Цель работы

Допустим, задана многоканальная замкнутая система массового обслуживания с неограниченным временем ожидания и с простейшими потоками. Эта система наиболее полно соответствует действительности. Она характеризуется следующи­ми особенностями:

• поступление требований в систему на обслуживание происходит по одному, то есть вероятность поступления двух и более требований в один момент вре­мени очень мала, и ею можно пренебречь (поток требований ординарный);

• вероятность поступления последующих требований в любой момент време­ни не зависит от возможности поступления в предыдущие моменты - поток требований без последействия;

• поток требований стационарный.

1.3 Выявление основных особенностей

Функционирование многоканальной замкнутой системы массового обслужива­ния можно описать через все возможные ее состояния и через интенсивность пе­рехода из одного состояния в другое.

Основными параметрами функционирования СМО являются вероятности со­стояния системы, то есть возможность наличия п требований (покупателей, рабо­чих, заданий, машин, неполадок) в системе - Р_n. Так, вероятность Р_о характеризу­ет состояние, когда в системе нет требований и все каналы обслуживания простаивают, P_i - когда в системе находится только одно требование, и т.д.

Важным параметром функционирования системы массового обслуживания является также среднее число требований, находящихся в системе (то есть в оче­реди и на обслуживании), , и средняя длина очереди,. Исходными пара­метрами, характеризующими систему массового обслуживания, являются:

• число каналов обслуживания (касс, компьютеров, подъемных кранов, ремонт­ных бригад) - ЛГ;

• число требований (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок) - т;

• интенсивность поступления одного требования на обслуживание (то есть число возвращений требования в единицу времени) - X;

• интенсивность обслуживания требований - μ .

Интенсивность поступления на обслуживание одного требования определяет­ся как величина, обратная времени возвращения требования в систему, - t_p:

λ=1/ t_p

Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обрат­ная времени обслуживания одного требования, - t₀:

μ=1/ t₀

Рассмотрим сначала решение задачи аналитическим методом. Для этого пред­ставим все возможные состояния системы массового обслуживания в виде разме­ченного графа состояний (рис.1). Каждый прямоугольник графа определяет одно из всех возможных состояний, количественно оцениваемое вероятностью состояний Р_п. Стрелки на графе указывают, в какое состояние система может пе­рейти и с какой интенсивностью. При этом в многоканальной СМО необходимо различать два случая:

• число требований п, поступивших в систему, меньше числа каналов обслу­живания N, то есть все требования находятся на обслуживании (0 < п < N);

• число требований и, поступивших в систему, больше или равно числу кана­лов обслуживания N (N< n), то есть N требований обслуживаются, а осталь­ные г ожидают в очереди (r = 1,2,..., т - N).

Рисунок 1 − Размеченный граф состояний многоканальной замкнутой СМО

Первый прямоугольник с вероятностью Р_о определяет состояние системы мас­сового обслуживания, при котором все каналы обслуживания простаивают из-за отсутствия требований в ней. Из этого положения СМО может перейти только в состояние P_v и тогда в ней появится одно требование, так как входной поток тре­бований ординарный. С интенсивностью μ система может перейти также из со­стояния P₁ в состояние Р₀, если единственное требование, находившееся в систе­ме, было обслужено раньше, чем появилось новое, и т.д.