4. Отклик на первый скачок напряжения

Введем в рассмотрение интегральный синус

графическое представление которого дано на рис. 87. Тогда подстанов­кой  (t - ) = х последнее выражение можно привести к виду:

Графически этот результат представлен на рис. 88. Осцилляции функ­ции, показанные пунктиром, не имеют физического смысла, так что можно считать, что отклик начинается в точке А.

5. В точках а и в соответственно

Следовательно,

Si [_гр (t_A - ) ] = -

Si [_гр (t_A - ) ] = -

Используя таблицы интегрального синуса, можно получить:

откуда длительность переднего фронта отклика

Искажение отклика по сравнению с входным воздействием проявляет­ся в „завале” фронта и осцилляции вершины импульса. Длительность фронта тем меньше, чем шире окно прозрачности (полоса пропускания частот) измерительного преобразователя.

6. Повторив выкладки для второго скачка напряжения на входе, получим окончательное выражение для отклика:

7. Чем уже полоса пропускания фильтра, тем положе фронты отклика на прямоугольный импульс. Это может привести к тому, что отклик не достигнет верхнего уровня входного воздействия. Если принять допустимой длительность фронта, равную 20 % длительности импульса, то необходимым условием этого будет соблюдение неравенства :

При ориентировочных расчетах считают, что удовлетворительное преоб­разование прямоугольного импульса обеспечивается уже при

В пределах этой полосы частот сосредоточена главная энергонесущая часть спектра прямоугольного импульса (рис. 90). Таким образом, мож­но сказать, что искажения отклика по сравнению с входным воздейст­вием будут незначительны, если спектр входного воздействия согла­сован с полосой пропускания средства измерений.

Статические измерения обеспечивают, как правило, боль­шую точность, чем динамические. Поэтому в тех случаях, ког­да это, возможно, следует проводить измерения в установив­шемся или стационарном режиме. При динамических изме­рениях желательно (но не обязательно), чтобы полоса про­пускания средств измерений была согласована со спектром входного воздействия. Это позволяет во многих случаях пренебрегать искажениями отклика по сравнению с входным воздействием и значительно упрощает обработку результа­тов измерений.

4.5.6. Оптимальная фильтрация

Согласование динамических свойств средств измерений с характером входных воздействий важно и при измерениях по шкале порядка. К последним, как уже отмечалось, относятся измерения с помощью индикаторов, сравнивающих неизвест­ный размер измеряемой величины с нулевым.

Согласно математической модели измерения по шкале порядка (8), сравнение неизвестного размера Q₁ с нулевым Q₂ = 0 в условиях аддитивных случайных воздействий , называемых помехами, сводится к решению вопроса: присут­ствует в левой части выражения (8) слагаемое Q₁ = Q (t), или оно равно нулю, и выражение (8) является тождеством (t)  (t) ?

Так как решение принимается на основе анализа выходного сигнала Х (t), то задача ставится так: присутст­вует в

полезный сигнал X(Q) являющийся откликом на Q (t), или выходной сигнал является результатом воздействия на средст­во измерений аддитивных помех случайного характера N (t) ? Эта задача называется задачей обнаружения полезного сигнала на фоне аддитивных помех.

Средство измерений, решающее задачу обнаружения, с одной стороны, должно максимально способствовать тому, чтобы полезный сигнал, если он есть, как можно четче про­явился бы на выходе; с другой стороны, решение о его на­личии или отсутствии должно приниматься с достаточной степенью уверенности. Соответственно структурные схемы индикаторов включают обычно из: фильтр, предназначенный для выделения полезного сигнала, и ограничитель, реализую­щий решающее правило — рис. 91.

Для того, чтобы определить каким должен быть селек­тивный фильтр, зададимся моделью помехи. Будем считать, что помеха представляет собой нормальный случайный про­цесс со средним значением, равным нулю, и равномерным энергетическим спектром G_() = G₀ = const. Такая мо­дель помехи называется бельм шумом и соответствует, например, наличию на входе фильтра тепловых шумов.

Пусть на вход фильтра кроме помехи воздействует по­лезный сигнал (t), комплексный спектр которого Q(). Спектр отклика на полезный сигнал и энергетический спектр помехи на выходе фильтры равны соответственно

() = () ()

где К() — модуль комплексного коэффициента преобразо­вания фильтра К() . Мощность отклика на полезный сигнал на выходе фильтра

а эффективная мощность помехи, равная ее дисперсии,

Фильтр наилучшим образом решит задачу выделения полезно­го сигнала, если в какой-нибудь момент времени t₀ максими­зирует отношение пиковой мощности сигнала к эффективной мощности помехи:

Синтезированный по этому критерию фильтр называется оптимальным. Для определения его основной метрологичес­кой характеристики — комплексного коэффициента преобра­зования — воспользуемся неравенством Буняковского-Шварца:

причем неравенство переходит в равенство, т. е. отношение пиковой мощности сигнала на выходе фильтра к эффектив­ной мощности помехи максимизируется, если

где Q() — комплексно сопряженный спектр входного сиг­нала.

Полученный результат говорит о том, что динамическая характеристика оптимального фильтра должна быть согласо­вана с входным воздействием. В частности, амплитудно-частотная и фазочастотные характеристики оптимального фильтра

Справедливо и обратное: любой фильтр оптимален только для одного вида сигналов, имеющих соответствующий спектр.

Пример 45. Построить графики АЧХ и ФЧХ фильтра, оптимального для обнаружения прямоугольного импульса длительностью _и.

Решение. 1. Спектр прямоугольного импульса показан на рис. 92, а. Амплитудный и фазовый спектры представлены, соответственно, на рис. 92, б и в.