Найдём погрешность по напряжениям

Комплексная мощность источника это произведение ЭДС на комплексно-сопряженный ток. Если направление ЭДС и тока совпадают, то результат берется со знаком «плюс», а если не совпадают – то со знаком «минус».

Вывод: расчёт верен, т.к. погрешности по токам и напряжениям допустимы.

Пример 1.3 К цепи на рисунке 1.11 приложено напряжение u(t) = 200 sin (ωt – 30^°) В промышленной частоты (f = 50 Гц). Параметры элементов схемы: r₁ = 120 Ом, r₂ = 80 Ом, L₁ = 286,48 мГн, L₃ = 477,46 мГн, С₂ = 31,83 мкФ.

Требуется:

1 Найти комплексные и мгновенные значения токов в ветвях.

2 Составить баланс мощностей.

3 Определить показания измерительных приборов электродинамической (ваттметра) и электромагнитной (амперметра и вольтметра) систем, включенных в цепь.

4 Построить топографическую диаграмму напряжений и векторную диаграмму токов.

Решение. Начертим расчетную электрическую схему (рисунок 1.12) и рассчитаем токи ветвей методом комплексных амплитуд.

Вычислим сопротивления реактивных элементов схемы:

x_L1 = ωL₁ = 2πfL₁ = 90 Ом;

x_L3 = ωL₃ = 2πfL₃ = 150 Ом;

x_С2 = 1/ωС₂ = 1/2πfС₂ = 100 Ом.

Комплексные сопротивления ветвей:

= r₁ + jx_L1 = 120 + j90 Ом; = r₂ – jx_С2 =80 – j100 Ом;

= jx_L3 = j150 Ом.

Комплексная амплитуда напряжения на входе цепи:

Комплексное входное сопротивление схемы:

Находим комплексные амплитуды токов:

Запишем выражения для мгновенных значений токов ветвей:

Находим комплексные токи ветвей:

Комплексное входное напряжение:

Составим баланс электрических мощностей.

Комплексная мощность источника:

Р_ист = 55,148 Вт, Q_ист = 19,436 вар.

Комплексная мощность нагрузки:

Р_нагр = 55,133 Вт, Q_нагр = 19,435 вар.

Найдем относительную погрешность расчета активной δ_P и реактивной δ_Q мощности:

Определяем показания измерительных приборов. Вольтметр V покажет действующее значение входного напряжения:

U_V = 141,42 В,

а показание вольтметра V₁ составит:

U_V1 =

Амперметр А измеряет действующий ток I₃, т. е.

I_A = I₃ = 0,56 А.

Показание ваттметра

Построим векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений схемы. Для построения топографической диаграммы напряжений обозначим буквами a, b ,c, d, e узлы (включая устранимые) исследуемой схемы (рисунок 1.13). Отложим из начала координат на рисунке 1.14 векторы токов в масштабе m_i = 0,2 А/см. Примем потенциал точки e равным нулю (φ_e = 0) и вычислим комплексные потенциалы остальных точек:

Отметим на комплексной плоскости в масштабе m_u = 25 В/см найденные потенциалы узлов, при этом каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме. Соединив соответствующие точки, получим векторы комплексных напряжений элементов заданной схемы.

Следует обратить внимание на то, что векторы напряжений направлены относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек схемы.

Пример 1.4 - Цепь переменного тока, изображённая на рисунке 1.15, имеет напряжение питания U = 100 В, начальную фазу напряжения α = 30^°, в первой ветви активное сопротивление r₁ = 3 Ом, индуктивное x_L1 = 10 Ом, ёмкостное x_С1 = 6 Ом, во второй ветви активное сопротивление r₂ = 10 Ом, а в третьей индуктивное x_L3 = 10 Ом.

Требуется определить токи ветвей, показания всех приборов, составить баланс мощностей. Рассчитать параметры реактивного элемента, который надо включить в неразветвлённую часть цепи (последовательно с элементами r₁, x_L1, x_C1), чтобы в цепи возник резонанс напряжений. Построить векторную диаграмму.

Решение. Задачу начинаем решать с преобразования реальных параметров цепи в их символьные изображения в комплексной форме. Первым преобразуем источник питания. В примере задано действующее значение его напряжения и начальная фаза, что позволяет записать мгновенное значение этого напряжения в виде

В.

Р исунок 1.15 – Схема разветвлённой цепи переменного тока

Угловая частота ω в записанном выражении для мгновенного значения напряжения определяется в зависимости от заданной частоты источника переменного тока

ω = 2πf = 2∙3,14∙50 = 314 1/с .

Изображение напряжения на входе цепи в комплексной форме записи

В.

Полное сопротивление первого участка в комплексной форме

Ом.

Если перевести изображение этого сопротивления в показательную форму по рассмотренным формулам перехода, то

Ом.

Полное сопротивление второй ветви

Ом.

Полное сопротивление третьей ветви

Ом.

Преобразованная цепь изображена на рисунке 1.16.

В преобразованной схеме, чтобы не загромождать рисунок, исключены измерительные приборы, которые на расчёт токов и напряжений не влияют.

По аналогии с цепью постоянного тока осуществляем эквивалентные преобразования для цепи на рисунке 1.16.

Параллельно соединенные элементы z₂ и z₃ заменяем одним эквивалентным

После преобразования схема упрощается и состоит из двух элементов, включенных последовательно, как это показано на рисунке 1.17.

Ток в этой цепи можно определить следующим образом:

А.

Далее определяем падение напряжения на разветвленном участке:

В.