Контрольные вопросы

1. Определить комплекс полного сопротивления заданной цепи.

2. Построить векторную диаграмму для заданной цепи.

3. Определить комплекс полной мощности, а также активную и реактивную ее составляющие для заданной цепи.

4. Как зависят значения активных и реактивных сопротивлений схемы от частоты источника гармонического сигнала?

5. Как в EWB определить фазовый сдвиг между двумя гармоническими сигналами?

6. Как в EWB измерить амплитудное и действующее значения напряжений?

Лабораторная работа № 2 Тема: «Исследование резонансных явлений в электрических цепях при гармоническом воздействии»

Цель работы – Теоретическое и экспериментальное исследование частотных характеристик электрических колебательных контуров.

Теоретические сведения

Резонанс – явление сильного возрастания амплитуды колебания под влиянием внешнего воздействия, когда частота внешних колебаний совпадает с частотой системы.

В пассивных электрических цепях явление резонанса может иметь место только в том случае, если они содержат и катушки индуктивности, и конденсаторы. В режиме резонанса на входе такой цепи напряжение и ток совпадают по фазе, т.е. критерием резонанса является равенство угла сдвига фаз нулю ( ). Учитывая, что в последовательной цепи, в параллельной цепи, условиям возникновения резонансов соответствуют соотношения: X = 0 либо B = 0.

В электрических цепях имеют место два вида резонансов: резонанс напряжений и резонанс токов. При резонансе напряжений при определенных параметрах цепи возможно значительное превышение напряжения на индуктивности и на конденсаторе над входным напряжением цепи. При резонансе токов в индуктивности и конденсаторе токи в некоторых случаях могут быть значительно больше входного тока цепи. Поэтому такие резонансы называют соответственно резонансом напряжения и резонансом тока. Условие возникновения первого: реактивное сопротивление X = 0, второго – реактивная проводимость B = 0.

2.1 Последовательный колебательный контур (рис. 2.1)

Для последовательного колебательного контура (рис 2.1,в) при резонансе реактивное сопротивление последовательного контура оказывается равным нулю , а сопротивление контура становится чисто активным, что является условием резонанса напряжений. Воспользовавшись простейшими последовательными схемами замещения индуктивной катушки и конденсатора, получим эквивалентную схему, изображённую на рис. 2.1, б. Эта схема может быть упрощена за счёт преобразования (рис. 2.1,в): R = R_L + R_C, причём суммарные потери в контуре определяются в основном потерями в катушке и мало зависят от частоты. Входное сопротивление контура относительно зажимов

1 – 1’ равно Z(jω) = R+j[ωL— 1/(ωС)].

а б в

Рис. 2.1. Схемы последовательного колебательного контура

а – принципиальная, б – эквивалентная, в – упрощенная эквивалентная

При этом ток в контуре достигает своего максимального значения, чем и объясняется возрастание напряжений на его элементах. Частота, при которой реактивное сопротивление контура равно нулю, т. е. выполняется условие резонанса напряжении ₀=1/ .

Угловой частоте ₀ соответствует частоте резонанса

f₀ =1/2

и длине электромагнитной волны = c/f₀=2c ,

где с = 3.10⁸ м/с – скорость света.

– период колебаний при резонансе.

Комплексное сопротивление последовательного контура:

.

Напряжение на емкости в комплексном представлении

,

откуда комплексная передаточная функция

,

уравнение амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) контура

, (2)

а уравнение ФЧХ

. (3)

При резонансе реактивные сопротивления индуктивности и емко­сти контура равны между собой ·

Сопротивление индуктивности или емкости контура при резонансе называется волновым или характеристическим сопротивлением контура  = .

На резонансной частоте сопротивление контура носит чисто резистивный характер и имеет минимальное значение, а ток в контуре – максимальное значение I₀ = U/R.

Важнейшим параметром последовательного колебательного контура является его добротность

Q = /R.

Добротность показывает во сколько раз напряжение на реактивных элементах L и C превышает входное напряжение U на резонансной частоте.

Величина d, обратная добротности, называется затуханием колебательного контура

d=1/Q.

Чем меньше активное сопротивление контура, тем выше его добротность. Добротность контура практически ограничивается активным сопротивлением индуктивной катушки.

Рассмотренные параметры колебательного контура: ω₀, ƒ₀, T₀, ρ, Q, d — относятся к числу вторичных параметров. Они характеризуют основные свойства контура без учета конкретных значений L, С, R и позволяют сравнить различные колебательные контуры.

Параметры элементов L, С, R являются первичными параметрами контура. Они характеризуют данный контур как совокупность конкретных элементов и позволяют отличить его от других контуров, с такими же ω₀, ρ, Q.

Зависимость действующего значения тока в контуре от частоты определяется выражением

Зависимости I(),U_R(),U_L()иU_C() называются амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) или резонансными характеристиками. Они определяются по формулам

U_R() = RI(); U_L() = LI(); U_C() = (1/C)I() (2.1)

На рис. 2.2,а изображены АЧХ, определяемые выражениями (2.1) и на рис. 2.1,б – ФЧХ ()=arctgX/R.

Рис. 2.2. АЧХ (а) и ФЧХ (б) последовательного колебательного контура.

Анализ зависимости U_R() показывает, что напряжение на сопротивлении U_R() имеет максимальное значение на резонансной частоте ₀ и равно входному напряжению U_R0=U.

Напряжения индуктивности U_L0() и емкости U_C0() при резонансе равны между собой и в Q раз больше входного напряжения (см. рис. 2.2,а)

U_L0= U_C0= I₀=U(/R)= UQ. (2.13)

Максимальные значения напряжений на ёмкости и индуктивности немного больше резонансного и равны между собой

и получаются соответственно на частотах (см. рис.2.2,в):

(2.15)

С увеличением добротности Q частоты _C и _L приближаются к резонансной частоте (_C_L₀) и максимальные значения напряжения на ёмкости и индуктивности приближаются к их резонансному значению

U_Lmax= U_{c max}  QU. (2.16)

Степень отклонения режима колебательного контура от резонанса принято оценивать абсолютной

 =  - ₀, (2.17)

относительной

 = /₀ = f/f₀ (2.18)

и обобщённой рас стройкой

(2.19)

При небольших f, абсолютных расстройках Δf=f–f₀ обобщённая расстройка может быть определена по приближённой формуле ξ 2QΔf/f₀.

Наиболее широко в теоретических исследованиях применяется обобщённая расстройка ξ, т.к. её использование существенно упрощает расчёт. Например, выражение для АЧХ тока (2.11) и сдвига фаз между напряжением и током можно записать через обобщённую расстройку в виде:

; (2.20)

 = arctg ξ.

Важной характеристикой колебательного контура является его полоса пропускания (ПП), под которой понимается область частот вблизи резонанса, где ток в контуре имеет значение не меньше максимального значения I₀ (рис.2.3). На граничных частотах ПП выполняется условие:

n(ξ)= I/I₀ = , (2.21)

откуда ξ_1,2 = X/R = 1.

Таким образом, на границах ПП реактивное сопротивление по абсолютной величине равно активному сопротивлению.

Из решения уравнения ξ1,2 = Q(f/f0 - f0/f) = 1

получим формулы для определения граничных частот ПП f₁ и f₂.

(2.22)

Абсолютная ширина ПП (см. рис. 2.3.) колебательного контура

S_а = f₂ - f₁ = f₀/Q = df₀ , (2.23)

относительная ширина ПП.

Рис.2.3. К определению ПП колебательного контура (а), зависимость формы резонансной кривой от добротности (б).

S₀ = (f₂ - f₁)/f₀ = 1/Q = d. (2.24)

Уравнение (2.23) используется для экспериментального определения добротности колебательного контура по экспериментально измеренным значениям резонансной частоты f₀ и абсолютной ширине ПП f₂ -f₁

Q = f₀/(f₂ - f₁). (2.25)

Добротность контура снижают внутреннее сопротивление источника (генератора) сигнала R_i (рис. 2.4) и сопротивление нагрузки R_н, подключённая параллельно ёмкости (рис.2.4), либо индуктивности.

При R_н эквивалентная добротность колебательного контура с учётом влияния R_i и R_н определяется по формуле

Q_э =  /(R + R_i +²/ R_н) (2.26)

Рис. 2.4. Схема подключения колебательного контура к источнику Е, R_i и нагрузке R_н

Для моделирования АЧХ и ФЧХ удобно использовать MathCAD.

Пример 2.1. Исследовать АЧХ и ФЧХ последовательного контура, образованного элементами с параметрами: R_г = R1 = 20 Ом, r = 15 Ом, L = 30 мГн, C = 300 пФ. Определить f₀, Q, П.

Вводим R1:=25, r:=15, L:=0.3*10^-3, C:=75*10^-12, ω(f):=2*π*f, затем задаем: R:=R1+r, X(f):= ω(f)*L-1/ ω(f)*C, f0:=1/2*π , ω0:=2*π*f0, Q:= ω0*L/R, П:=f0/Q, причем для ввода греческих букв выполняем операцию ctrl+G над соответствующей латинской буквой, например t ctrl+G = τ, p ctrl+G = π.

Определяем:

Для построения графика АЧХ нужно по ординате задать верхний предел не менее Q. Зададим пределы ординаты 0…60. По абсциссе резонансная характеристика займет полосу частот П = 21,2 кГц. Поэтому нет необходимости задавать широкий частотный интервал. Зададим пределы по абсциссе: f0-50000…f0+50000. Устанавливаем метки по ординате: Q и Q/2, по абсциссе: f0 и f0+П. Предусмотрим возможность варьирования активного сопротивления контура, для чего вводим:

;

и наблюдаем АЧХ (рис. 2.5). Констатируем, что увеличение сопротивления контура до 2R вдвое снижает добротность и расширяет полосу пропускания.

Для моделирования ФЧХ используем уравнение (3). Масштаб по абсциссе воспроизводим с рис. 2.5, по ординате масштаб устанавливается автоматически. Переводим радианы в градусы с умножением правой части на коэффициент 180/π и снова исследуем изменение характеристики при варьировании сопротивления:

; .

Рис. 2.5. Моделирование в MathCAD АЧХ последовательного контура.

Графики ФЧХ последовательного контура представлены на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Моделирование в MathCAD ФЧХ последовательного контура

Хорошо видно, что увеличение сопротивления контура снижает крутизну ФЧХ в резонансной области. Если требуется представить АЧХ в относительном масштабе, используется (5). Расстройка задается в долях единицы, поэтому задаем пределы и шаг:

и затем вводим: .

График АЧХ изображен на рис. 2.7

Рис. 2.7. Моделирование в MathCAD АЧХ последовательного контура в функции относительной расстройки.

2.2 Параллельный колебательный контур (рис. 2.8)

а б в

Рис. 2.8. Схемы параллельных колебательных контуров:

а – принципиальная; б — эквивалентная схема основного вида;

в — эквивалентная схема с использованием последовательной схемы замещения индуктивной катушки

Параллельный колебательный контур представляет собой параллельное соединение катушки индуктивности и конденсатора , принципиальная схема которого показана на рис. 2.8а.

На рис. 2.8б показана эквивалентная схема параллельного колебательного контура, в которой сопротивление R не является сопротивлением потерь контура, хотя и зависит от него. Параллельная модель удобна при расчете проводимости цепи.

На рис. 2.8в показана эквивалентная схема параллельного колебательного контура,в которую включено сопротивление потерь катушки индуктивности, сопротивление потерь конденсатора в большинстве случаев можно не учитывать.

Входное комплексное сопротивление (2.8в) определяется выражением

. (2.27)

В окрестности частоты , равной

, (2.28)

пренебрегая в числителе (2.27) величиной , получим

. (2.29)

Обобщенная расстройка контура

, (2.30)

- добротность параллельного колебательного контура, равная

, (2.31)

- характеристическое сопротивление контура,

. (2.32)

Добротность и характеристическое сопротивление для параллельного колебательного контура совпадают с аналогичными параметрами для последовательного колебательного контура.

В результате из (2.29) получим выражение для комплексного сопротивления контура через обобщенную расстройку

, (2.33)

из которого можно найти модуль , аргумент , активную и реактивную составляющие,

, (2.34)

, (2.35)

, (2.36)

, (2.37)

Графики этих функций показаны на рис. 2.9.

Рис.2.9

На частоте (2.28) сопротивление контура максимально, чисто активно и равно

. (2.38)

При отклонении от частоты сопротивление резко падает, появляется реактивная компонента. При сопротивление контура имеет индуктивный характер, а при - емкостный, этот же результат вытекает и из анализа фазовой характеристики на рис. 2.9б.

Порядок выполнения лабораторной работы

1) Расчёт основных характеристик колебательного контура

Для заданных параметров колебательного контура (рис.2.1,в) (см. табл. 2.1) рассчитать резонансную частоту f₀, характеристическое сопротивление , добротность Q, затухание d и абсолютную ширину ПП. Результаты расчёта занести в табл. 2.2

Таблица 2.1 - Исходные данные.

Вариант №	L, мГн	C, нФ	R, Ом	Вариант №	L, мГн	C, нФ	R, Ом
1	10	50	10	11	15	40	30
2	20	60	20	12	25	50	35
3	30	70	30	13	35	60	40
4	40	80	40	14	45	70	45
5	50	90	50	15	55	80	50
6	60	100	60	16	65	90	60
7	70	40	70	17	75	60	70
8	80	30	80	18	85	40	80
9	90	20	90	19	95	30	90
10	100	10	100	20	110	20	100

Таблица 2.2 Параметры колебательного контура

L=_______;	C=_______;	R=_______;
f0=_______;	=_______;	Q=_______;
d=_______;	Sа=.f2 -f1=_______;
При Ri=0.5R; Rн=50 кОм; Qэ=_______; dэ=_______; Sаэ=_______

2) Рассчитать эквивалентную добротность Q_э, эквивалентное затухание d_э и абсолютную ширину ПП S_аэ колебательного контура, если он подключен к генератору с внутренним сопротивлением R_i и параллельно емкости подключена нагрузка с сопротивлением R_н=50 кОм (см. рис.2.2). Результаты расчёта занести в табл. 2.2.

Рассчитать частотные характеристики U_R(f), U_L(f), U_C(f), (f) на частотах f = f_{0 ±}kf, где f =f-f₀= f₀/2Q, где f=f₀/2Q; k=0;1;2;3. Результаты расчёта занести в табл. 2.3.

Таблица 2.3 Результаты предварительного расчёта и эксперимента

№	Результаты измерений						Результаты предварительного расчёта
	f	f	UR	UL	UC			UR	UL	UC	
		кГц	В	В	В	град.		В	В	В	град.
1	f0 -3f
2	f0 -2f
3	f0 - f
4	f0
5	f0 +f
6	f0 +2f
7	f0 +3f

3) Исследование RLC-цепи (рис. 2.1,а)

Соберите в Electronics Workbench. схему, приведённую на рис. 2.10. Производится переустановка параметров элементов RLC -цепи согласно требуемого варианта (см. табл.2.1), т.е. устанавливаются параметры цепи, которые использовались в предварительном расчёте. Для переустановки параметров элементов надо дважды щёлкнуть левой клавишей мыши на изображении этого элемента и затем в раскрывшемся окне установить требуемую величину параметра элемента, после чего щёлкнуть мышью на кнопку «ОК» или клавишу «Enter», т.е. «Ввод».

Рис.2.10. Схема исследования последовательного RLC-контура

на разных частотах

Переустановить генератор на требуемую частоту, напряжение и записать показания амперметра A и вольтметров V1,V2,V3, подключённых параллельно соответственно к индуктивности L, ёмкости C и сопротивлению R. Результаты измерений на всех требуемых частотах занести в табл.2.3.

4) Измерение сдвига фаз между напряжением и током

Рис.2.11. Схема для измерения (f) и мгновенных значений u(t) и u_R(t)

Для измерения сдвига фаз между входным напряжением u и током i RLC-цепи соберите в Electronics Workbench. схему, приведённую на рис 2.11

Два раза щёлкнув левой клавишей мыши по изображению измерителя частотных характеристик (ИЧХ) «Plotter», мы раскроем его переднюю панель, и на экране монитора ПЭВМ появится частотная характеристика

 = _u - _i, аналогичная той, которая приведена на рис.2.1,в. Установив курсор слева и нажав левую клавишу мыши на вертикальной оси графика и не отпуская её, перетащить вертикальную линию на ту частоту, на которой требуется выполнить измерение . Необходимо учесть, что в исследуемой схеме (рис.2.11) знак  получается противоположный истинному знаку.

Далее, сдвигая вертикальную линию вдоль оси частот и, устанавливая её в точки, соответствующие требуемым частотам, измерить  на всех заданных частотах. Результаты измерений (f) заносятся в табл.2.2.

Для измерения мгновенных значений входного напряжения u(t) и напряжении на сопротивлении u_R(t) закрывается передняя панель ИЧХ и и открывается передняя панель двухканального осциллографа и после установки частоты генератора f=f_Г срисовываются осциллограммы u(t) и u_R(t), которые имеют вид, приведённый на рис.2.1,в.

5) Исследование влияния внутреннего сопротивления

генератора и нагрузки на резонансные (частотные) характеристики RLC-цепи.

Соберите в Electronics Workbench. схему, приведённую на рис.2.12.

Рис.2.12.Схема исследования влияния внутреннего сопротивления генератора R_i и нагрузки R_н на резонансные характеристики RLC контура.

Установить параметры RLC-цепи согласно требуемого варианта (см. табл. 2.1, табл. 2.2) и измерить АЧХ H(f)= U₂(f)/U₁(f) и ФЧХ (f)=_u2 -_u1 на разных частотах. Для измерения АЧХ и ФЧХ необходимо щелкнуть быстро два раза левой клавишей мыши по пиктограмме плоттера «1» после чего он раскроется. После этого надо включить моделирование (эмуляцию) и на экране плоттера и измерения ФЧХ и ФЧХ выполняются аналогично п.2.1. Результаты измерений заносятся в табл.2.3.

6) Оформить отчет, содержащий:

1. Схемы измерения частотных характеристик.

2. Графики частотных характеристик U_Rл(f), U_L(f), U_C(f), (f), построенных по результатам предварительного расчёта и эксперимента.

3. По графику U_Rл(f) определить абсолютную полосу пропускания и сравнить полученное значение с предварительным расчетом.

4. Графики зависимостей S_а(R), Q_Э(R).

5. Выводы по результатам исследований.