4 Электромагнитные колебания

4.1 Электрический колебательный контур. Формула Томсона

Э лектромагнитные колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность L и емкость C (рис.4.1). Такая цепь называется колебательным контуром. Возбудить колебания в таком контуре можно, например, предварительно зарядив конденсатор от внешнего источника напряжения, соединить его затем с катушкой индуктивности.

Поскольку внешнее напряжение к контуру не приложено, сумма падений напряжений на емкости и индуктивности должна быть равна нулю в любой момент времени:

откуда, учитывая, что сила тока , получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих колебаний электрического заряда в колебательном контуре

.

Если ввести обозначение

то полученное уравнение принимает вид:

.

Решением этого уравнения, как известно, является функция

.

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω₀, называемой собственной частотой колебательного контура. Период колебаний определяется по формуле Томсона:

Напряжение на конденсаторе:

,

где - амплитуда напряжения.

Сила тока в контуре:

.

Сопоставляя полученные выражения, видим, что когда напряжение на конденсаторе, а значит энергия электрического поля, обращается в нуль, сила тока, а, следовательно, энергия магнитного поля, достигает максимального значения (рис.4.2). Таким образом, электрические колебания в контуре сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.

Амплитуды тока I_m и напряжения U_m связаны между собой очевидным соотношением:

.

4.2 Свободные затухающие колебания. Добротность колебательного контура

В сякий реальный колебательный контур обладает сопротивлением (рис.4.3). Энергия электрических колебаний в таком контуре постепенно расходуется на нагревание сопротивления, переходя в джоулево тепло, вследствие чего колебания затухают.

Уравнение свободных затухающих колебаний можно получить, исходя из того, что в отсутствии внешнего источника напряжения, сумма падений напряжений на индуктивности, емкости и сопротивлении равна нулю для любого момента времени:

или, поскольку ,

.

Введя обозначение

,

этому уравнению можно придать вид:

,

где .

Решение полученного уравнения имеет вид:

где

Мы видим, что частота свободных затухающих колебаний ω^′ меньше собственной частоты ω₀. Подставив значения ω₀ и β, получим:

А мплитуда затухающих колебаний заряда конденсатора q₀(t) уменьшается со временем по экспоненциальному закону (рис.4.4). Коэффициент β называется коэффициентом затухания.

Затухание колебаний принято характеризовать декрементом колебаний λ, определяемым как:

.

Легко видеть, что декремент колебаний обратен по величине числу колебаний N_e, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз: λ=1/N_e. Добротностью колебательного контура называется величина:

Из этой формулы видно, что добротность тем выше, чем меньше коэффициент затухания β. При малых затуханиях (λ<<1) можно приближенно считать, что

.

Амплитуда тока в контуре, как и заряд на конденсаторе, убывает со временем по закону . Энергия W, запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды тока (или квадрату напряжения на конденсаторе). Следовательно, W убывает со временем по закону e^-2βt. Относительное уменьшение энергии за период колебания Т (при малом затухании) есть:

.

Таким образом, потери энергии в колебательном контуре тем меньше, чем выше его добротность.