2) Критерий Вальда.

Данный критерий основывается на принципе максимального пессимизма, то есть на предположении, что скорее всего произойдет наиболее худший вариант развития ситуации и риск наихудшего варианта нужно свести к минимуму. Для применения критерия нужно для каждой альтернативы выбрать наихудший показатель привлекательности (наименьшее число в каждой строке матрицы выигрышей) и выбрать ту альтернативу, для которой этот показатель максимальный. Для нашего примера: Видно, что наилучшим из наихудших показателей обладает альтернатива А₂ , для нее наибольшее.

3) Критерий максимального оптимизма.

Наиболее простой критерий, основывающийся на идее, что ЛПР, имея возможность в некоторой степени управлять ситуацией, рассчитывает, что произойдет такое развитие ситуации, которое для него является наиболее выгодным. В соответствии с критерием принимается альтернатива, соответствующая максимальному элементу матрицы выигрышей. Для приведенного примера эта величина , поэтому выбираем альтернативу .

4) Критерий Сэвиджа.

Он основан на принципе минимизации потерь, связанных с тем, что ЛПР принял не оптимальное решение. Для решения задачи составляется матрица потерь, которая называется матрицей рисков , которая получается из матрицы выигрышей путем вычитания из максимального элемента каждого столбца всех остальных элементов. В рассматриваемом примере эта матрица есть:

Bj Аi	B1	B2	B3	B4
А1	7	2	0	17
А2	6	4	3	12
А3	13	10	5	0
А4	3	0	4	21
А5	0	8	7	8

Далее, для каждой альтернативы определяем величины , равные максимальному риску (наибольшее число в каждой строке матрицы рисков) и выбирают ту альтернативу, для которой максимальный риск минимален. В нашем примере: минимально Принимаем альтернативу А₂ .

5) Критерий Гурвица.

Это самый универсальный критерий, который позволяет управлять степенью «оптимизма - пессимизма» ЛПР. Введем некоторый коэффициент , который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма. Этот коэффициент можно интерпретировать как вероятность, с которой произойдет наилучший для ЛПР исход. Исходя из этого, наихудший вариант можно ожидать с вероятностью (1-). Коэффициент доверия  показывает, насколько ЛПР может управлять ситуацией и в той или иной степени рассчитывает на благоприятный для него исход. Если вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуации для ЛПР равны, то следует принять =0,5.

Для реализации критерия определяются наилучшие и наихудшие значение каждой альтернативе по формулам , . Далее, вычисляются функции полезности по формуле:

.

Выбирается та альтернатива, для которой функция полезности максимальна.

Предположим, что для нашего примера ЛПР достаточно уверен в положительном результате и оценивает вероятность максимального успеха в =0,7. Тогда:

В соответствии с расчетами ЛПР следует выбрать альтернативу А₃. Если же, например, ЛПР не очень уверен в положительном исходе и расценивает его вероятность порядка =0,2, то функции полезности равны:

Видно, что в этом случае следует принять А₂, для которого функция полезности максимальна.

Следует отметить, что при =0, критерий Гурвица переходит в пессимистический критерий Вальда, а при =1 – в критерий максимального оптимизма.

В случае, если показатель привлекательности по критерию минимизируются (чем меньше, тем лучше для ЛПР, например затраты, риск и др.), то критерии принятия оптимального решения несколько меняются. Рассмотрим эти отличия.

Критерий Лапласа определяет оптимальное решение по минимальной функции полезности. Применяя критерий Вальда необходимо вычислять максимальный показатель каждой альтернативы (строки) и принимать альтернативу, где этот показатель минимален. Критерий максимального оптимизма позволяет определить оптимальное решение, соответствующее минимальному элементу матрицы выигрышей (которую в случае минимизации часто называют матрицей потерь). Матрица рисков в критерии Сэвиджа получается в результате вычитания из каждого элемента матрицы потерь минимального элемента каждого столбца . Для реализации критерия Гурвица вычисляются максимальные и минимальные показатели для каждой альтернативы , и функции полезности рассчитываются по формуле: . Выбирается альтернатива с наименьшей функцией полезности. Рассмотрим пример.

ПРИМЕР 2.

Нефтяная компания собирается построить в районе крайнего севера нефтяную вышку. Имеется 4 проекта A, B, C и D. Затраты на строительство (млн. руб.) зависят от того, какие погодные условия будут в период строительства. Возможны 5 вариантов погоды . Выбрать оптимальный проект для строительства используя критерии Лапласа, Вальда, максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при . Матрица затрат имеет вид:

Аi Sj	S1	S2	S3	S4	S5
A1	7	12	8	10	5
A2	9	10	7	8	9
A3	6	8	15	9	7
A4	9	10	8	11	7

Критерий Лапласа.

Следует выбрать альтернативу А₁.

Критерий Вальда: среди наихудших вариантов ₁=12, ₂=10, ₃=15, ₄=11, наилучший соответствует ₂=10, следовательно принимаем альтернативу А₂.

Критерий максимального оптимизма. Соответствует альтернативе, для которой минимальное.

Критерии Сэвиджа имеет матрицу рисков:

Аi Sj	S1	S2	S3	S4	S5
A1	1	4	1	2	0
A2	3	2	0	0	4
A3	0	0	8	1	2
A4	3	2	1	3	2

Максимальные элементы для каждого критерия матрицы рисков равны: ₁=4; ₂=4; ₃=8; ₄=3. Принимаем альтернативу, соответствующую минимальному значению ₄=3, то есть А₄.

В соответствии с критерии Гурвица на уровне , функции полезности равны:

Принимаем альтернативу А₂ с наименьшей функцией полезности .