4. Формула полной вероятности.

Теорема 8.5. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В₁, В₂,... , В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

(8.8)

(формула полной вероятности).

Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий В₁, В₂,...., В_n, т.е. А= В₁ А + В₂ A +… + В_n А, причем ввиду несовместимости событий В₁, В₂,...., В_n, события В₁А, В₂A,…, В_nА, также несовместимы. Поэтому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем

Пример 8.29. Для приема зачета преподаватель заготовил 50 задач: 20 задач по дифференциальному исчислению, 30 по интегральному исчислению. Для сдачи зачета студент должен решить первую же доставшуюся наугад задачу. Какова вероятность для студента сдать зачет, если он знает как решить 18 задач по дифференциальному исчислению и 15 задач по интегральному исчислению?

Решение. Вероятность получить задачу по дифференциальному исчислению (событие В₁) равна Р(В₁) = =0,4; по интегральному исчислению (событие В₂) — Р(В₂) = =0,6. Если событие А означает, что задача решена, то =0,9, = 0,5. Теперь по формуле (8.8) имеем Р(А) = =0,40,9 + 0,60,5 = 0,36 + 0,3 = 0,66.

Пример 8.30. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором — три белые и одна серая, в третьем — две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Решение. Обозначим:

В₁ — выбор первого ящика, В₂ — выбор второго ящика,

B₃ — выбор третьего ящика, А — извлечение белой мыши.

Так как все ящики одинаковы, то Р(В₁ ) = Р(В₂) = Р(В₃)=1/3. Если выбран первый ящик, то =2/3. Аналогично =3/4, =1/2. Наконец, по формуле (8.8) получаем

5. Формула Бейеса.

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, произведено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) величины Р(В_k), k=1, 2, …, n?

Найдем условную вероятность Р_A(В_k). По теореме умножения вероятностей и формуле (8.5) (см. п. 2) имеем

Р(AВ_k)= Р(A) Р_A (В_k)= .

Отсюда

Наконец, используя формулу полной вероятности, находим

(8.9)

Формулу (8.9) называют формулой Бейеса. (Томас Бейес, или Байес, (1702—1761) - английский математик)

Пример 8.31. Большая популяция людей разбита на две группы одинаковой численности. Диета одной группы отличалась высоким содержанием ненасыщенных жиров, а диета контрольной группы была богата насыщенными жирами. После 10 лет пребывания на этих диетах возникновение сердечнососудистых заболеваний составило в этих группах соответственно 31 % и 48 %. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно­сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к контрольной группе?

Решение. Введем обозначения для событий:

А — случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно­сосудистое заболевание;

В₁ — человек придерживался специальной диеты;

В₂ — человек принадлежал к контрольной группе.

Имеем = = 0,5, =0,31, =0,48.

Согласно формуле полной вероятности Р(A)=0,50,31+0,50,48=0,395.

и, наконец, в силу формулы (8.9) искомая вероятность

Вопросы для контроля знаний и подведения итога прочитанной лекции