2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

1. Понятие математического ожидания. Закон распределения полностью задает дискретную случайную величину. Однако часто встречаются случаи, когда закон распределения случайной величины неизвестен. В таких случаях случайную величину изучают по ее числовым характеристикам. Одной из таких характеристик является математическое ожидание.

Пусть некоторая дискретная случайная величина X с конечным числом своих значений задана законом распределения:

xi	х1	х2	….	х n
рi	p1	p2	….	p n

Определение. Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины X называют сумму произведений всех возможных значений величины X на соответствующие вероятности:

М(Х) = х₁р₁+х₂р₂ + ... +х_n р _n. (9.1)

Пример 9.3. Используя условие примера 9.2, найдем математическое ожидание выигрыша X в примере из подразд. 9.1, п. 2.

Решение. Из полученной в примере 9.2 таблицы имеем М(Х) = 0 0,9889 + 1000,01 + 100000,001 + 100 0000,0001 =1 + 10 + 10 = 21 р.

Очевидно, М(Х) = 21 р. есть справедливая цена одного лотерейного билета.

Теорема 9. 1. Математическое ожидание дискретной случайной величины X приближенно равно среднему арифметическому всех ее значений (при достаточно большом числе испытаний).

Доказательство. Предположим, что произведено п испытаний, в которых дискретная случайная величина X приняла значения х₁,х₂, ..., х _k соответственно m₁,m₂, ..., m_k раз, так что m₁+m₂+ ...+ m_k = п. Тогда среднее арифметическое всех значений, принятых величиной X, выразится равенством

Или .

Так как коэффициент является относительной частотой события «величина X приняла значение х_i (i= 1, 2, ..., k), то х_ср = х₁р^*₁+х₂р^*₂ + ... +х_n р^* _n.

Из статистического определения вероятности следует, что при достаточно большом числе испытаний р^*_iр_i (i= 1,2,...,k). Поэтому

х_ср = х₁р₁+х₂р₂ + ... +х_n р _n.

или х_ср = М(Х).

Примечание. В связи с только что установленной теоремой математическое ожидание случайной величины называют также ее средним значением, или ожидаемым значением.

2. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой величине.

Постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение С с вероятностью р = 1. Поэтому M(С) = С 1 =

=С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е. М(СХ) = С М(Х).

Используя соотношение (9.1), имеем

М(СХ) =C х₁р₁+Cх₂р₂ + ... +Cх_n р _n.= = С(х₁р₁+х₂р₂ + ... +х_n р _n.) = =СМ(Х).

Следующие два (3 и 4) свойства примем без доказательства.

3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин X и Y равно сумме их математических ожиданий:

М(Х +Y) = М(Х) + М(Y).

Определение. Случайные величины X и Y называют независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое возможное значение приняла другая величина.

Примером двух независимых случайных величин могут служить суммы выигрышей по каждому из двух билетов по двум различным денежно-вещевым лотереям. Здесь ставший известным размер выигрыша по билету одной лотереи не влияет на ожидаемый размер выигрыша и соответствующую ему вероятность по билету другой лотереи.

Несколько случайных величин называют независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

4. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(Х Y) = М(Х)М(Y).

Следствием свойств 2 и 3 является свойство 5. 5. Математическое ожидание разности двух случайных величин X и Y равно разности их математических ожиданий:

М(Х -Y) = М(Х) - М(Y).

Примечания. 1. Свойства 3 и 4 имеют место и для любого конечного числа случайных величин.

2. Если множество возможных значений дискретной случайной величины X бесконечно, то математическое ожидание М(Х) определяется суммой числового ряда М(Х) = при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание М(Х) не существует). Перечисленные свойства математического ожидания остаются в силе [4] и для таких случайных величин.

Пример 9.4. Найдем математическое ожидание случайной величины

Z = X + 2 Y, если известны математические ожидания случайных величин Х и Y: М(Х) = 5,М(Y) = 3.

Решение. Используя свойства 3 и 2 математического ожидания, по­лучаем

М(Z) = М(Х + 2Y) = М(Х) + М(2Y) = М(Х) + 2М(Y) =5 + 23 = 11.

Пример 9.5. Независимые случайные величины заданы законами распределения

X 1 2 р 0,2 0,8

Y 0,5 1 р 0,3 0,7

Найти математическое ожидание случайной величины ХY

Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:

М(Х) = 10,2 + 20,8 = 1,8,

М(Y) = 0,50,3 + 10,7 = 0,15 + 0,7 = 0,85.

Случайные величины Х и Y независимы, поэтому искомое математическое ожидание

М(ХY) = М(Х)М(Y) = 1,80,85 = 1,53.