3. Среднее квадратическое отклонение.

Определение. Средним квадратическим отклонением (X) случайной величины X называется корень квадратный из ее дисперсии:

(X) = .

Введение среднего квадратического отклонения объясняется тем, что дисперсия измеряется в квадратных единицах относительно размерности самой случайной величины. Например, если возможные значения некоторой случайной величины измеряются в метрах, то ее дисперсия измеряется в квадратных метрах. В тех случаях, когда нужно иметь числовую характеристику рассеяния возможных значений в той же размерности, что и сама случайная величина, и используется среднее квадратическое отклонение.

Пример 9.7. Случайная величина X — число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости. Определим (X).

Решение. Имеем

Здесь для облегчения вычислений можно использовать калькулятор. То же следует иметь в виду и в ряде других примеров этой главы.

4. Понятие о моментах распределения.

Определение 1. Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание случайной величины X^k, где k — натуральное число:

_k=M(X^k)

Следовательно, если X имеет распределение

X	х1	х2	….	х n
р	p1	p2	….	p n

то М(Х) = х^k₁р₁+х^k₂р₂ + ... +х^k_n р _n..

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины X можно выразить через начальные моменты порядков 1 и 2

M(X) =₁ (9.2)

D(X) = М(Х²)- -М²(Х)= ₂-₁².

Определение 2. Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины [Х- М(Х)] ^k:

_k=[(Х- М(Х)) ^k].

Из определения центрального момента порядка k, теоремы 9.2 и определения дисперсии следует, что

₁=[(Х- М(Х))]=0,

₂=[(Х- М(Х)) ²]=D(X). (9.3)

Сравнивая соотношения (9.2) и (9.3), получаем

₂= ₂-₁²

Пример 9.8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	1	3
р	0,4	0,6

Найдем начальные моменты первого, второго порядков и центральный момент второго порядка. Решение. Имеем:

₁ =М(Х) = 10,4 + 30,6 = 2,2;

₂ = M (X²) = 10,4 + 90,6 = 5,8;

₂=5,8-2,2² =5,8-4,84 = 0,96.

4. Непрерывные случайные величины

1. Интегральная функция распределения. Для непрерывной случайной величины в отличие от дискретной нельзя построить таблицу распределения. Поэтому непрерывные случайные величины изучают другим способом, который мы сейчас рассмотрим. Пусть X — непрерывная случайная величина с возможными значениями из некоторого интервала (а; b) и х — действительное число. Под выражением Х<х понимается событие «случайная величина Л' приняла значение, меньшее х». Вероятность этого события Р(Х< х) есть некоторая функция переменной х

Р(х) = Р(Х < х).

Определение. Интегральной функцией распределения (или кратко функцией распределения) непрерывной случайной величины X называется функция F(х), равная вероятности того, что X приняла значение, меньшее х:

F(х) = Р(Х < х). (9.4)

Отметим, что функция распределения совершенно также определяется для дискретных случайных величин.

Укажем свойства, которыми обладает функция F(х).

1. 0  F(х)  1.

Это свойство следует из того, что F(х) есть вероятность.

2. F(х) — неубывающая функция, т.е. если х₁< х₂, то F(х_}) F(х₂).

Доказательство. Предположим, что х₁ <х₂. Событие «X примет значение, меньшее х₂» можно представить в виде суммы двух несовместимых событий: «X примет значение, меньшее х₁ и «X примет значение, удовлетворяющее неравенствам х₁ Х< х₂». Обозначим вероятности последних двух событий соответственно через Р(Х< х₁) и Р(х₁Х<х₂). По теореме о вероятности суммы двух несовместимых событий

Р(Х < х₂) = Р(Х< х₁) +Р(х₁Х<х₂).

откуда с учетом (9.4)

Р(х₁Х<х₂)= F(х₂)- F(х₁). (9.5)

Так как вероятность любого события есть число неотрицательное, то Р(х₁Х<х₂)0 и, значит, F(х₂)F(х₁).

Формула (9.5) утверждает свойство 3.

5. Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтервал [а; b) равна разности между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала (а; b):

Р(аХ<b) = F(b)-F(а). (9.6)

Пример 9.9. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдем вероятности того, что в результате испытания X примет значение, принадлежащее полуинтервалу [0; 2).

х

Решение. Так как на полуинтервале [0; 2) F(х) = то

Р(0Х<2) = F(2)-F(0)=

В дальнейшем случайную величину X будем называть непрерывной, если непрерывна ее функция распределения F(х) с непрерывной или кусочно-непрерывной производной.

4. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет какое-либо заранее заданное значение, равна нулю:

Р(Х = х₁) = 0. (9.7)

Доказательство. Положив в (9.5) х₂ = х₁+ х, будем иметь

Р(х₁  X < х₁+ х) = F(х₁+ х) - F(х₁ ). (9.8)

Так как F(х) — непрерывная функция, то, перейдя в (9.8) к пределу при х0, получим искомое равенство (9.7). Из свойства 4 следует свойство 5.

5. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал, сегмент и полуинтервал с одними и теми же концами одинаковы

Р(a<X <b) = Р(a X  b) = Р(a X <b) = Р(a<X  b) . (9.9)

6. Если возможные значения случайной величины X принад­лежат интервалу (а; b), то 1) F(х) = 0 при х а; 2) F(х) = 1 при хb.

Доказательство. 1) Пусть х₁ а. Тогда событие Х< х₁ невозможно, и, следовательно, вероятность его равна нулю.

2) Пусть х₂  b. Тогда событие X < х₂ достоверно, и, следовательно, вероятность его равна 1.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой оси, то справедливы следующие предельные соотношения:

F(-) = =0; F() = == 1.

2. Дифференциальная функция распределения. Дифференциальной функцией распределения непрерывной случайной величины ДГ(или ее плотностью вероятности) называется функция f(х) равная производной интегральной функции: f(х) =F’(х)

Так как F(х) — неубывающая функция, то f(х)  0 (см. подразд. 3.7, п. 1).

Теорема 9.3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (а; b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции распределения величины X, взятому в пределах от а до b:

Р(а<Х<b)= . (9.10)

Доказательство. Так как F(х)является первообразной для f(х), то на основании формулы Ньютона— Лейбница (см. подразд. 4.4, п. 2)

=F(b)-F(а). (9.11)

Теперь с учетом соотношений (9.6), (9.9), (9.11) получим искомое равенство.

Из (9.10) следует, что геометрически (см. подразд. 4.3, п. 2) вероятность Р(а<X<b) представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности вероятности у =f(х) и отрезками прямых у = 0, х = а и х = b.

Следствие. В частности, если f(х)) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

Р(-а<Х<a)= Р(Х<a)= 2 (9.12)

Заменяя в формуле (9.11) а на - и b на х, получаем

F(x)-F(-)= .

откуда, в силу найденного выше следствия (см. п. 1),

F(x)= . (9.13)

Формула (9.13) дает возможность отыскать интегральную функцию распределения F(x) по ее плотности вероятности.

Отметим, что из формулы (9.13) и из только что отмеченного следствия вытекает, что

=1 (9.14)

Пример 9.10. Задана плотность вероятности случайной величины X

f(x)= (-< x < +)

Требуется найти коэффициент А, функцию распределения F(х) и вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 1).

Решение. Коэффициент А найдем, воспользовавшись соотношением (9.14). Так как

= = + =A arctg x + A arctg x =

= A arctg (+)-A arctg (-)=А,

то А = 1, откуда А =1/.

Применяя формулу (9.13), получаем функцию распределения F(х):

F(х)= = A arctg x = [ arctg x- arctg (-)]=

== + arctg x.

Наконец, формулы (9.6) и (9.9) с учетом найденной функции F(х) дают

P(0< x < 1)= F(1)- F(0)= .