4. Неперервність функції в точці і на проміжку

Функція називається неперервною в точці , якщо границя функції в цій точці існує і дорівнює значенню функції в цій точці .

Умови неперервності функції в точці:

1. Границя функції в точці визначена.

2. Границя функції в точці існує.

3. Границя дорівнює значенню функції в цій точці.

Функція називається неперервною проміжку, якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Властивості неперервних функцій:

1. Якщо функції f (x) і g (x) неперервні в точці a, то сума, добуток і частка неперервних в точці a функцій неперервні в точці a (частка у випадку, коли дільник g (a) ≠ 0).

2. Графік функції, неперервної на проміжку, — нерозривна лінія на цьому проміжку.

3. Всі елементарні функції неперервні в кожній точці своєї області визначення, тому на кожному проміжку з області визначення їх графіки — нерозривні лінії.

3. Многочлен є функція неперервна на всій числовій осі.

4. Дробово-раціональна функція є функція неперервна на області визначення.

5. Якщо функція неперервна на сегменті , то вона на цьому сегменті обмежена.

6. Якщо функція неперервна на сегменті , то вона на цьому сегменті приймає найменше і найбільше значення.

7. Якщо функція непевна на сегменті і на його кінцях приймає значення різних знаків, то існує хоч би одна точка С на , в якій .

5. Задачі, які приводять до поняття похідної

1. Миттєва швидкість руху точки вздовж прямої

змінна.

?

Нехай а

миттєва.

миттєва.

2. Дотична до графіка функції

Нехай , рухаючись по кривій. Тоді січна до дотичної, а

5. О значення похідної

Нехай функція визначена на деякому проміжку (а; b). Візьмемо значення і надамо аргументу приросту . Тоді функція набуде приросту . Розглянемо відношення приросту функції до приросту аргументу і перейдемо до границі при :

.

Якщо границя існує і скінченна, вона називається похідною функції за змінною х і позначається

Означення. Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції в точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля.

;

Функцію f (x), що має похідну в точці , називають диференційованою в цій точці. Якщо функція f (x) має похідну в кожній точці деякого проміжку, то кажуть, що ця функція диференційована на цьому проміжку.

Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

5. Загальний метод знаходження похідної

Похідна від функції знаходиться по наступним крокам:

1. знаходимо в точці приріст функції ;

2. знаходимо - відношення приросту функції до приросту аргументу;

3. знаходимо границю цього відношення при умові, .

5. Механічний зміст похідної

_{Похідна від шляху по часу} дорівнює в заданий момент часу

Якщо - залежність пройденого шляху від часу, то

- швидкість прямолінійного руху;

- прискорення прямолінійного руху.

5. Геометричний зміст похідної

Похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою і дорівнює коефіцієнту цієї дотичної, .

5. Правила диференціювання

Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві (сonst) = 0.

Правило 2. Якщо u — будь-яка диференційовна функція від х і с — довільна стала, то (cu)  = cu.

Правило 3. Якщо u та v — диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією:

Правило 4. Добуток двох диференційовних функ­цій u та v є диференційовною функцією

Правило 5. У точках, в яких , відношення двох дифе­ренційовних функцій є функція диференційовна, причому

5. Похідна складної функції

Похідна складної функції : — правило ланцюга

5. Формули диференціювання

Формули диференціювання основних елементарних функцій

Формули диференціювання складених функцій

13. Друга похідна та її фізичний зміст

Похідна від першої похідної називається другою похідною і позначається

, ,

Друга похідна від по дорівнює прискоренню в заданий момент часу .