4. Друге правило дослідження на екстремум

Нехай точка є стаціонарною для функції і нехай в цій точці існує похідна другого порядку , яка не дорівнює нулю, . Тоді, якщо , то є точкою мінімуму, якщо , то є точкою максимуму функції .

5. Асимптоти кривої

Асимптотою кривої називають пряму (або криву) лінію, до якої необмежено наближається точка, рухаючись по кривій у нескінченність.

5.1. Вертикальні асимптоти

Нехай функція визначена в одному з інтервалів (а; с) та (с; b), або на обох із них, причому с — скінченне число.

Означення. Якщо функція має в точці с розрив другого роду і існує хоча б одна із нескінченних односторонніх границь функції в точці с (наприклад, або ), то пряму х = с називають вертикальною асимптотою кривої .

Приклад

Функція має вертикальну асимптоту , оскільки точка — точка розриву другого роду:

; .

5.2. Похилі асимптоти

Нехай функція визначена в інтервалі або в інтервалі . Пряму називатимемо асимптотою кривої , якщо виконується умова .

Крива , тоді і тільки тоді має похилу асимптоту , коли існують скінченні границі , .

Приклад. Знайти асимптоти функції

У точці функція має розрив другого роду, тому — вертикальна асимптота. Знайдемо похилу асимптоту. За теоремою

, . , .

Отже, пряма є асимптотою функції при .

5.3. Горизонтальні асимптоти

Якщо в похилій асимптоті функції маємо , то таку похилу асимптоту називають горизонтальною асимптотою функції. Отже, горизонтальна асимптота — частинний випадок похилої — відшукується як похила асимптота за умов ,

і має вигляд . До речі, умову можна не перевіряти, якщо — скінченна границя, оскільки в такому разі границя завжди дорівнює нулю. Звідси можемо зробити висновок.

Для того щоб пряма була горизонтальною асимптотою функції , , , необхідно і достатньо, щоб існувала скінченна границя

6. Загальна схема дослідження функції та побудова графіка

1. Знаходимо ;

2. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат (якщо це можливо);

3. Досліджуємо на парність і непарність: парна, непарна;

4. Досліджуємо на монотонність та екстремум;

5. Знаходимо асимптоти графіка функції;

6. Дослідження функції на опуклість і точки перегину;

7. Будуємо графік.

7. Рівняння дотичної до графіка функції в заданій точці

Схема:

1. Знаходимо ;

2. знаходимо ;

3. складаємо рівняння:

8. Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Нехай функція неперервна на сегменті . Щоб знайти найбільше і найменше значення функції на сегменті , необхідно:

1. Знайти критичні точки першого роду;

2. обчислити значення функції в критичних точках, які належать , і в кінцях сегменту;

3. обрати серед цих значень найбільше та найменше значення функції.

Практичне заняття № 1

Тема: Обчислення границь

Мета:

навчальна: узагальнити та вдосконалити в студентів знання про границю функції, сформувати вміння обчислювати границі та застосовувати властивості границь при розв’язуванні вправ.

розвивальна: спонукати студентів до розвитку логічного мислення через аналіз, синтез; розвивати вміння конкретизувати, систематизувати матеріал.

виховна: виховувати культуру математичних записів у зошиті та на дошці, математичну грамотність; бажання працювати, наполегливість, активність та дисциплінованість.