Задание №3

Механические свойства твердых тел

Деформация и закон Гука. Деформация называется упругой, если она исчезает после прекращения действия внешних сил. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими. Все виды деформации растяжения (или сжатия), сдвиг, изгиб, кручение могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.

Рассмотрим однородный стержень длиной L и площадью поперечного сечения S, к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы F₁ и F₂ (F₁ = F₂ = F), в результате чего длина стержня меняется на величину ∆L. Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением:

σ = F/S.

Если сила направлена по нормали к поверхности, то напряжение называется нормальным, если же по касательной к поверхности — тангенциальным.

Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная деформация. Так относительное изменение длины стержня (продольная деформация)

ε = ∆L/L,

относительная поперечная деформация

ε = ∆L/L,

где L и ∆L — некоторые поперечные размеры тела и его удлинение. Поперечная и продольная деформация связаны соотношением

ε = - με,

где μ — коэффициент Пуассона.

При упругих деформациях относительная деформация и напряжение пропорциональны друг другу. Согласно закону Гука при деформации растяжения (сжатия)

σ = Еε,

где E — модуль Юнга. Модуль Юнга равен нормальному напряжению σ, при котором линейные размеры тела изменяются в два раза.

Деформация сдвига характеризуется относительным сдвигом

где ∆S —абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга, h — расстояние между слоями.

Для деформации сдвига закон Гука имеет вид

где G — модуль сдвига, F — тангенциальная сила, направленная по касательной к поверхности; F/S = — касательное напряжение. Напряжение, до которого деформации носят упругий характер, называется пределом упругости. Напряжение, при котором происходит разрушение тела, называется пределом прочности. 1. Потенциальная энергия деформированного стержня. Потенциальная энергия упругорастянутого сжатого стержня равна работе, совершаемой внешними силами при деформации.

А. Вычислить потенциальную энергию стального стержня длиной l=2 м и площадью поперечного сечения S=2 при его удлинении под действием некоторой силы. 2. Однородная деформация. Прямоугольный брусок с длинами сторон а, в, и с поместили в резервуар с водой и подвергли гидростатическому сжатию под действием давления р. При всестороннем сжатии относительно изменения объёма пропорционально давлению

где х – коэффициент объемного сжатия. Используя закон Гука, выразить x через модуль Юнга и коэффициент Пуассона . Учесть, что относительное удлинение, например вдоль оси х , определяется как за счет действия напряжения вдоль оси х, так и за счет удлинения вдоль этой оси, происходящей в результате напряжения вдоль осей у и z . А. Коэффициент Пуассона для меди равен 0,34, модуль Юнга 2,2 Найти относительное изменение плотности цилиндрического стрежня при сжатии его давлением Па. 3. Стержень из стали имеет длину l=2 м и толщину поперечного сечения . Верхний конец стержня закреплен неподвижно, к нижнему прикреплен упор. На стержень одет просверленный посередине груз m=10 кг. Груз падает с высоты h= 10 м и задерживается упором. Найти: 1) удлинение стержня при ударе груза; 2) нормальное напряжение возникающее при этом в материале стержня. 4. Вычислить относительную деформацию удлинения однородного стержня под действием напряжения , приложенного к его торцам, если стержень закреплен таким образом, что боковое сокращение невозможно. 5. Какие силы надо приложить к концам стального стержня с площадью поперечного сечения 1 для того, чтобы не дать ему расширится при нагревании от 0 до 10 ? 6. Трещина Гриффитса. Реальная прочность твердых тел зависит от наличия в них всевозможного рода дефектов , в частности микротрещин, снижающих прочность тел. Пусть к образцу, имеющему форму тонкой пластины, приложено растягивающее напряжение . Показать, что плотность упругорастянутого образца равна ²/2Е.

Когда в пластине возникает трещина длиной l, простирающаяся на всю толщину пластины d, то объем V ≈ l²d образца разгружается от упругих напряжений и его упругая энергия уменьшается на величину и₁ ≈ l²d ²/2E. С другой стороны, с образованием трещины связано появление свободной поверхности с площадью S ≈ Id, что приводит к увеличению энергии пластины на величину u₂ = S, где — поверхностная энергия на единицу площади. Таким образом, полное изменение энергии пластины в результате образования трещины равно

и ≈ u₂ - и₁ = ld — l²d ²/2E.

А. Качественно нарисовать график зависимости изменения полной энергии и от длины трещины l. Из условия - =0 найти формулу для критической длины трещины l_кр. Объяснить, почему трещины с длиной l > l_кр будут самопроизвольно увеличиваться, а с l < l_кр — уменьшаться.

Б. Пусть имеется пластина из материала с модулем Юнга Е — 1,2∙10¹¹ Па и поверхностной энергией на единицу площади = 1,7 Дж/м². Из требования, чтобы пластина могла выдержать напряжение = 1,8∙10⁸ Па, оценить предельную длину трещин, которые могут находиться внутри пластины без опасения ее разрушения.