7. Момент силы, закручивающий на угол однородный стержень, один конец которого закреплен, может быть записан в виде

M = C

где С —постоянная кручения. Вывести формулу С для стержня длиной l, с радиусом поперечного сечения a, модулем сдвига G. Для получения этой формулы стержень разбить на цилиндрические слои радиусом r и малой толщиной dr и вычислить момент силы, который надо приложить к этому цилиндрическому слою для закручивания его на угол . Учесть, что при закручивании цилиндрического слоя в нем возникают деформации сдвига. Полный момент силы М равен сумме всех моментов, действующих на каждый цилиндрический слой.

А. Получить формулу для потенциальной энергии стержня, закрученного на угол .

Б. Модуль сдвига материала стержня 29,43 ГПа, длина стержня 10 см, радиус поперечного сечения 0,1 мм. Какой момент

силы надо приложить к концу стержня, чтобы закрутить его на 10'?

В. Какую энергию надо затратить на закручивание проволоки длиной 10 см и радиусом 1 мм на 10', если модуль сдвига материала равен 100 ГПа?

8. Упругие волны в стержне. Пусть имеется упругий стержень, смешение частиц которого при деформациях вдоль оси z определяется функцией и (z, l). Частица, которая в недеформированном состоянии занимает положение z, в деформированном состоянии занимает положение z + u (z, t). Показать, что функция u (z, t) удовлетворяет волновому уравнению

где с = — скорость звука в стержне; Е — модуль Юнга, p -плотность стержня. Для вывода волнового уравнения написать уравнение Ньютона для движения малого участка стержня длиной dz. При вычислении сил, действующих на этот элемент, использовать закон Гука, который для неоднородно деформированного стержня имеет вид

,

Где (z) — напряжение в плоскости с координатой z.

Найти решения волнового уравнения для стержня, оба конца которого неподвижно закреплены.

8. Энергия винтовой дислокации. Винтовая дислокация получается в результате разреза кристалла полубесконечной плоскостью и сдвига одной части разрезанного кристалла относительно другой в направлении линии разреза на вектор бюргерса в. Если выделить цилиндрический слой толщиной dr, ось которого совпадает с линией винтовой дислокации, то в результате образования винтовой дислокации этот цилиндрический слой испытывает деформацию сдвига, которая равна = в/2 r. Напряжение сдвига равно = G = G в/2 r. Определить потенциальную энергию упругой деформации цилиндрического слоя, а после суммирования по всем цилиндрическим слоям с r от r_о до , вычислить потенциальную энергию винтовой дислокации, r_о — радиус ядра дислокации.

Контрольные вопросы

1. Дать определение относительной деформации растяжения сжатия и сдвига.

2. Что называется напряжением.

3. Сформулировать закон Гука.

4. В чем заключается физический смысл модуля Юнга?

5. В чем состоит смысл коэффициента Пауссона?

6. Что называется упругими и пластическими деформациями?

7. Что называется пределами упругости и пластичности?

8. Объяснить, почему теоретический предел прочности оказывается на много больше реального предела прочности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978.

2. Епифанов Г. И. Физика твердого тела. М.: Высш. шк., 1977.

3. Фейман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Феймановские лекции по физике. М.: Мир. 1977. Вып. 7.

4. Бокштейн Б. С. Атомы блуждают по кристаллу // Квант. 1984. Вып. 28.

5. Займовски В. А., Колупаева Т. Л. Необычные свойства обычных металлов. // Квант. 1984. Вып. 32.

6. Штейнберг А. С. Репортаж из мира сплавов. // Квант. 1989 Вып. 71.

7. Шьюмон П. Диффузия в твердых телах. М.: Металлургия, 1966.

Диффузия и точечные эффекты в твёрдых телах. Механические свойства твердых тел.

Составитель В о л о к и т и н А ле к с а н д р И в а н о в и ч

Редактор И.М. Ж е л а н о в а Технический редактор Г.Н. Ш а н ь к о в а

Корректор Г а л и м о в а