Исключение данных

Для решения вопросов об исключении из серии выпадающе­го результата существует ряд приемов. Простейший из них, применяемый при п  5, заключается в отбрасывании наи­большего и наименьшего результатов.

Более строгий подход основан на использовании стати­стических критериев, в частности Q-критерия. В этом слу­чае находят отношение разности между выпадающим и ближайшим к нему результатами к размаху варьирования. По­лученное значение Q_эксп сравнивают с табличным значением Q-критерия (так называемым критическим значением Q_крит) при заданных доверительных вероятностях и числе результа­тов.

Если Q_эксп > Q_крит , выпадающий результат исключают, и наоборот, если Q_эксп < Q_крит ; результат исключать нельзя — он принадлежит выборке.

Если выборка очень мала (n = 3), следует провести допол­нительные измерения и включить их в выборку. Если такой возможности нет, лучше для дальнейшей обработки пользо­ваться медианой, а не средним.

пример 17. Получены следующие результаты определения меди в латуни (%): 12.29; 12.24; 12.48; 12.20. Можно ли исключить какой-то результат? (Р = 0.90).

Решение. Выпадающий результат 12.48. Располагаем резуль­таты в порядке возрастания: 12.20; 12.24; 12.29; 12.48.

По таблицам: Q_крит = 0.76 при n = 4 и Р = 0.90. Q_эксп < Q_крит следовательно, результат 12.48 следует оста­вить в выборке.

Сравнение выборок

Чтобы решить вопрос, принадлежат ли разные выборки од­ной совокупности, можно воспользоваться статистически­ми методами проверки гипотез, в частности нуль-гипотезы. Нуль-гипотеза строится на предположении о неразличимости статистических критериев выборок при заданной доверитель­ной вероятности. Подтверждение нуль-гипотезы, полученное из сравнения экспериментальных и табулированных стати­стических оценок, говорит о принадлежности сравниваемых выборок к одной совокупности. В зависимости от имеющихся исходных сведений для проверки выполнения нуль-гипотезы можно использовать разные критерии и решать разные про­блемы.

Если известны дисперсии или стандартные отклонения разных выборок, можно сравнить их и решить вопрос о при­надлежности этих выборок одной совокупности по воспро­изводимости. Например, можно сравнить воспроизводимость двух методов определения одной и той же величины.

При этом целесообразно использовать статистический критерий F-распределения (F-критерий, или критерий Фи­шера).

где V₁ > V₂ или s²₁ > s²₂.

Нуль-гипотеза строится на предположении о неразличи­мости дисперсий или стандартных отклонений. Рассчитыва­ют F-критерий по экспериментальным данным. Сравнивают найденное значение F_эксп с табличным значением F_табл при заданных доверительных вероятностях и числе степеней сво­боды в выборках.

Если F_эксп < F_табл ; нуль-гипотеза подтверждается, если F_эксп > F_табл отвергается.

пример 18. Получены следующие результаты определения марганца в стали (%): 0.80; 0.81; 0.78; 0.83 (фотометри­ческим методом); 0.76; 0.70; 0.74 (спектральным методом). Сравните воспроизводимость методов (при доверительной вероятности 0.95).

Решение. Вычисляем дисперсии обеих выборок:

Рассчитываем F_эксп учитывая, что V₂ > V₁:

Находим F_табл (P = 0.95), учитывая, что числа сте­пеней свободы выборки с большей дисперсией стоят в го­ризонтальном ряду таблиц, а числа степеней свободы вы­борки с меньшей дисперсией — в вертикальном ряду: F_табл = 9.6. Как видно, F_эксп<F_табл) следовательно, вос­производимость фотометрического и спектрального мето­дов определения марганца одинакова.

Установив однородность дисперсий выборок, можно ре­шать вопросы о принадлежности единичных результатов вы­борок к одной совокупности и о правильности того или иного метода определения.

Если известны средние выборок с однородной дисперсией, можно судить о принадлежности всех результатов одной вы­борке. Сравнение средних позволяет решить ряд важных за­дач, например установить идентичность материалов, выявить систематическую погрешность измерения на разных прибо­рах.

Запишем выражения для истинных значений выборок:

Стандартное отклонение s рассчитывают по данным объеди­ненной выборки.

Нуль-гипотеза строится на предположении об идентично­сти ₁ и ₂, т.е. незначимости различия и :

После преобразования получаем:

Здесь - доверительный интервал для объединенной выборки.

Если нуль-гипотеза подтверждается.

Если нуль-гипотеза отвергается.

Можно поступить и по-другому: сравнить значения t-коэффициента t_эксп рассчитанного по экспериментальным данным, с табличным значением t_табл лри заданной довери­тельной вероятности:

Если t_эксп < t_табл нуль-гипотеза подтверждается, если t_эксп > t_табл нуль-гипотеза отвергается.

пример 19. Можно ли объединить результаты определений марганца в стали, приведенные в примере 18, для нахож­дения истинного содержания?

Решение. Для решения вопроса об объединении выборок сравним их среднее, создав нуль-гипотезу с привлечением t-критерия. Поскольку воспроизводимость обоих методов одинакова (пример 18), объединяем выборки для вычисле­ния стандартного отклонения.

Вычисляем разность   по статистическим кри­териям, находя по таблицам t-коэффициент при Р = 0.95 и  = 5:

Экспериментально наблюдаемая разность  = 0.805 — 0.73 = 7.5•10^-2 больше расчетной, следовательно, нуль-гипотеза не подтверждается и результаты определе­ния марганца объединять нельзя. По-видимому, в одном из методов допущена систематическая погрешность.

пример 20. Можно ли смешать остатки медного купороса из двух склянок, если при определении в нем воды методом отгонки получены следующие результаты (%):

1 склянка 36.40; 36.54; 36.71

2 склянка 35.90; 35.95; 36.08

Доверительная вероятность 0.95.

Решение. Рассчитываем среднее в каждой выборке:

Находим стандартное отклонение, объединяя обе выборки:

Проверяем нуль-гипотезу:

Экспериментальная разность средних  = 36.55 — 35.98 = 0.57 больше доверительного интервала , следова­тельно, нуль-гипотеза отвергается. Смешивать реактивы из этих склянок не следует.

Если известно истинное значение какой-либо величины и среднее выборки , сравнение их позволяет установить нали­чие или отсутствие систематической погрешности.

Например, анализируя стандартный образец, можно оценить правиль­ность результатов, полученных по новой методике. Для этого используют выражение для доверительного интервала:

или, если имеется значение ,

Нуль-гипотеза основывается на предположении о незначимо­сти различия между и .

По экспериментальным данным вычисляют доверитель­ный интервал при заданной доверительной вероятности и числе степеней свободы и сравнивают с экспериментально найденной разностью и .

Если гипотеза подтверждается,

Если гипотеза отвергается.

Как и для средних, можно также сравнивать расчетный и табличный t-коэффициенты.

пример 21. Допущена ли систематическая погрешность при фотометрическом определении хрома по новой методике в стандартном образце стали с содержанием хрома 0.35%, если получены следующие результаты (%): 0.30; 0.34; 0.33;