3.4. Определенный интеграл

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция . Интеграл вида называется определенным интегралом от на отрезке [a,b], где а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a,b] – отрезок интегрирования. Функция называется интегрируемой на отрезке [a, b].

Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.

Вычисление:

1. Непосредственное:

– формула Ньютона – Лейбница

2. Замена:

3. По частям:

Свойства:

1. 

2. .

3. .

4. 

5. 

Несобственные интегралы

1. Несобственный интеграл I рода

.

2. Несобственный интеграл II рода

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

Если криволинейная трапеция ограничена:

1. Кривыми, заданными явно .

2. Кривой, заданной параметрически .

,

3. Кривой, заданной в полярной системе координат .

Вычисление длины дуги кривой

Если кривая задана:

1. Явно , то

2. Параметрически , то

3. В полярной системе координат , то

Объем тел вращения

1. Вращение вокруг оси Ох

2. Вращение вокруг оси Оy

Приближенное вычисление определенного интеграла (формула Симпсона или формула парабол)

3.5. Функции нескольких переменных.

Переменная называется функцией двух переменных и , если каждой паре значений двух независимых друг от друга переменных величин и из некоторой области соответствует определенное значение , .

Частными приращениями функции по независимым переменным и называются разности , , где – приращения аргументов, также принадлежат области .

Полным приращением функции , соответствующим приращениям аргументов и , называется разность

Частной производной первого порядка функции по независимым переменным и называется передел отношения соответствующего частного приращения и к приращению данной переменной, при условии, что приращение переменной стремится к нулю:

Приняты также обозначения:

.

Эти функции могут иметь производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Выражение называется полным дифференциалом первого порядка функции в данной точке.

Дифференцирование сложных функций

Случай одной независимой переменной

-дифференцируемая функция двух переменных и в некоторой области , а аргументы и являются дифференцируемыми функциями некоторой переменной , т.е. . Тогда

.

Случай нескольких независимых переменных

Если аргументы и функции являются функциями двух переменных, скажем, , то

и

Неявная функция нескольких переменных

Функция называется неявной функцией переменных и , если она определяется уравнением , неразрешенным относительно .

Если дифференцируема по переменным , и в некоторой области и , то уравнение определяет однозначно неявную функцию , также дифференцируемую, и ее частные производные находятся по формуле

.

Производная по направлению вектора для функции трех переменных . Окончательная формула такова:

,

(14)

где – орт направления или – направляющие косинусы направления .

Градиентом функции (скалярного поля) называется вектор с координатами . Обозначается .

Пусть фиксированная точка на поверхности , заданной функцией или уравнением .

Касательной плоскостью к в точке называется плоскость , в которой расположены касательные к всевозможным кривым, проведенным на через . Нормалью называется прямая , проходящая через перпендикулярно .