Определение экстремума функции двух переменных в точке
Рассмотрим функцию
двух переменных, определенную в некоторой
области
.
Функция
имеет локальный
максимум (минимум) в точке
,
если неравенство
(
)
имеет место во всех точках
,
достаточно близких к
,
но отличных от нее.
Необходимые условия экстремума.
Если
дифференцируема в точке
и имеет экстремум в этой точке, то ее
дифференциал равен нулю:
|
|
Точка
называется стационарной
точкой
функции
,
если
.
Достаточные условия экстремума.
Пусть – стационарная точка функции . Обозначим
Если
и
,
то
—точка
максимума.Если и
,
то
—точка
минимума.Если
,
то
не является точкой экстремума.Если
,
то точка
может как быть, так и не быть точкой
экстремума, поэтому требуется
дополнительное исследование.
Экстремум функции в области
Пусть
функция
определена и непрерывна в ограниченной
замкнутой области
.
Тогда она достигает в некоторых точках
своего наибольшего
и наименьшего
значений (т.е. глобальный экстремум).
Эти значения достигаются функцией в
точках, расположенных внутри области
.,
или в точках, лежащих на границе области.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области функции состоит в следующем:
Найти все критические точки функции, принадлежащие , и вычислить значения функции в них;
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области;
Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее и наименьшее .
3.6. Дифференциальные уравнения.
№ |
Вид уравнения |
Способ решения |
Дифференциальные уравнения I порядка.
Дифференциальным
уравнением первого порядка называется
соотношение, связывающее функцию, ее
первую производную и независимую
переменную, т.е. соотношение вида:
Если такое
соотношение преобразовать к виду
Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. Решение вида у = (х, С0) называется частным решением дифференциального уравнения. Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0. |
||
1 |
Уравнения с разделяющимися переменными.
(
|
Перенести одно из слагаемых в правую часть. Собрать с одной стороны равенства переменную х, с другой стороны равенства у.
Проинтегрировать правую и левую части равенства. Записать общее решение:
Найти особое решение из уравнения:
|
2 |
Однородное уравнение
(
|
Проверить
однородность функций
Сделать замену
Получаем уравнение с разделяющимися переменными. |
3 |
Линейное уравнение
|
Делаем замену
Получаем систему уравнений:
Находим общее решение:
|
4 |
Уравнение Бернулли
|
Делаем замену
Получаем систему уравнений:
Находим общее решение:
|
5 |
Уравнение в полных дифференциалах
если его левая
часть полный дифференциал некоторой
функции
т.е.
|
проверяем
выполнение условия
Решение
записываем в виде
|
Дифференциальные уравнения II порядка В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде
где F − заданная функция указанных аргументов. Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде:
Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C1, С2), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество. Решение вида у = (х, С10, С20) называется частным решением дифференциального уравнения.
Задачей Коши
называется нахождение любого частного
решения дифференциального уравнения
вида у = (х,
С10,
С20),
удовлетворяющего начальным условиям
|
||
Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. |
||
6 |
Уравнения вида
|
Порядок понижается путем двукратного интегрирования уравнения.
|
7 |
Уравнение не содержит явно у
|
Делаем замену
Уравнение
принимает вид
Пусть
Делая обратную замену, получаем
|
8 |
Уравнение не содержит явно х
|
Делаем замену
Уравнение
принимает вид
Пусть
Делая обратную замену, получаем
|
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (ЛОДУ). |
||
9 |
|
Составляем характеристическое уравнение
|
|
Если
|
Общее решение
|
|
Если
|
Общее решение
|
|
Если
|
Общее решение
|
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (ЛНДУ). |
||
10 |
|
Общее решение
где
|
|
можно найти методом вариации произвольной постоянной
|
Составляем систему
Решив
систему, найдем
|
|
можно найти по виду правой части |
|
|
|
Если 0 не является
корнем характеристического уравнения,
то
|
Если 0 является корнем кратности r характеристического уравнения, то
|
||
|
|
Если α не является корнем характеристического уравнения, то
|
Если α является корнем кратности r характеристического уравнения, то
|
||
|
|
Если βi не является корнем характеристического уравнения, то
|
Если βi является корнем кратности r характеристического уравнения, то
|
||
|
|
Если α+βi не является корнем характеристического уравнения, то
|
Если α+βi является корнем кратности r характеристического уравнения, то
|
||
то это дифференциальное уравнение
первого порядка будет называться
уравнением, разрешенным
относительно производной.
)
)
,
.
,
.
,
ищем
и
.
.
,
тогда
– уравнение первого порядка.
общее
решение.
и
,
тогда
– уравнение первого порядка.
общее
решение.
и
,
- общее решение ЛОДУ,
- частное решение ЛНДУ
и
.
Затем найдем
и
.
Найденные значения подставляем в
