Лабораторна робота №1 Математичне моделювання моментів опору

Тема: Дослідження впливу моменту опору механізму під час руху.

Мета: Навчитись складати математичну модель моментів опору; на отриманій моделі відтворити поведінку моменту опору від зміни динамічного моменту.

Порядок виконання роботи:

1. Відповідно до завдання на лабораторну роботу заповнити таблицю 1.1;

2. Зробити розрахунки потрібних величин та заповнити таблиці 1.1-1.2;

3. Скласти структурну модель моменту опору відповідно до системи рівнянь (1.1);

4. Побудувати характеристики Mс=f(ω), Mс=f(t), ω=f(t) при зміні динамічного моменту.

5. Зробити висновки до виконаної роботи.

Теоретичні відомості.

Рівняння руху електроприводу

Механічна енергія на валу двигуна Wдв витрачається:

- на здійснення корисної роботи і подолання опору руху робочого органу Wоп;

- на створення запасу кінетичної енергії в механічній частині електроприводу Wкін

(1.1)

Потужність двигуна дорівнює похідній енергії за часом

(1.2)

Тоді момент двигуна

(1.3)

Визначимо динамічний момент, продиференціювавши за часом вираз кінетичної енергії:

(1.4)

З формули (1.4) виходить, що динамічний момент

(1.5)

Момент М, що розвивається двигуном, врівноважується моментом опору руху Моп і динамічним моментом Мдин:

(1.6)

Вираз називають повним рівнянням руху.

Для більшості механізмів момент інерції J = const. Тоді отримуємо основне рівняння руху електроприводу:

(1.7)

У основне рівняння рухи входять:

- М - електромагнітний момент двигуна;

-Моп - момент опору руху;

- Мдин - динамічний момент, що діє тільки в динаміці. Основне рівняння руху дозволяє оцінити стан, в якому знаходиться електропривод:

• при електропривод розгоняється розганяється;

• при електропривод гальмується;

• при швидкість електроприводу постійна, сталий режим роботи електроприводу;

• при електропривод гальмується під дією статичного моменту при відключеному двигуні (гальмування при вибіганні).

Знаки моментів:

- момент двигуна позитивний - М (+), якщо напрям дії моменту двигуна збігається з напрямом обертання двигуна;

статичний момент позитивний - Моп (+), якщо статичний момент направлений назустріч швидкості обертання двигуна.

Основне рівняння поступальної ходи виводиться аналогічно і має вигляд

(1.8)

де Fдв - сила двигуна (лінійного);

Fоп- сила опору руху;

m - маса, що пересувається;

v - лінійна швидкість пересування.

Механічна частина електроприводу

Розглянемо розрахункову схему електроприводу з нескінченною жорсткістю механічних зв'язків між елементами. Розрахункова схема електроприводу представляється елементом, що обертається, з моментом інерції, приведеним до валу двигуна, , приведеним до валу двигуна моментом Моп і моментом двигуна М.

Основне рівняння руху при лінійному (J = const) кінематичному ланцюзі

(1.9)

запишемо в операторній формі:

(1.10)

Передавальну функцію механічної частини електроприводу, на виході якої розглядаємо ω(р), на вході - динамічний момент

(1.11)

отримуємо у вигляді

(1.12)

Приведена ланка може бути відображена (рис 1.1).

Структурна схема (особлива форма запису рівнянь) механічної частини електроприводу, логарифмічна амплітудна (ЛАХ) і перехідні характеристики зображені на рисунку 1.1.

Рисунок 1.1 – Структурна схема, ЛАХ та перехідна характеристика механічної частини електропривода

При зміні на вході Мдин(р)= М(р) - Моп(р)= const і J = const вихідна величина ω(t) наростатиме по лінійному (тому що dω/dt = ε = const) закону у функції часу від ω = 0 до ω = ∞.

Перейдемо в рівнянні (1.13) до відносних одиниць (в.о.). Приймаємо за базові величини:

М_Б = Мн - номінальний електромагнітний момент двигуна;

ω_Б =ω_0Н - швидкість ідеального холостого ходу при номінальній напрузі на якорі і номінальному струмі збудження.

Основне рівняння руху у відносних одиницях записуємо у вигляді

(1.13)

де - механічна постійна часу електроприводу, така, що враховує і приведений момент інерції робочого органу.

Наявність в рівнянні Тд свідчить про запис рівняння у в.о.

Фізичний сенс механічною постійною часу електроприводу Тд є час, протягом якого двигун із моментом інерції J розженеться без навантаження з нерухомого стану до швидкості ідеального холостого ходу під дією моменту, рівного номінальному.

Кінематичні схеми конкретних електроприводів нескінченнорізноманітні, проте володіють загальними особливостями, які можна встановити, розглянувши ряд конкретних прикладів.

Наприклад, кінематична схема електроприводу відцентрового вентилятора, зображена на рис.1.2. Ротор двигуна Д через сполучну муфту СМ обертає вал робочого колеса вентилятора В. Всі елементи кінематичної схеми рухаються з однією і тією ж швидкістю.

Рисунок 1.2 – Кінематична схема і механічна характеристика вентилятора

Момент опору руху робочого органу Мро, залежить від швидкості робочого органу ω_ро, створюється на робочому колесі вентилятора

(1.14)

де ∆Мро - момент механічних втрат на тертя в підшипниках робочого колеса вентилятора;

ω_вн - номінальна швидкість вентилятора;

Мвн - номінальний момент вентилятора при його номінальній швидкості;

n - коефіцієнт, залежний від магістралі, на яку працює вентилятор (n = 2 - магістраль без противотиску).

Механічна характеристика вентилятора є квадратичною залежністю моменту від швидкості (рис. 1.2). Таким чином, електропривод вентилятора є безредукторним, нереверсивним, з нелінійною залежністю швидкості від моменту.

У більшості практичних випадків по різних міркуваннях доцільна номінальна швидкість двигуна не збігається з номінальною швидкістю робочого органу. При цьому виникає необхідність узгодження швидкостей шляхом введення в кінематичний ланцюг різних передач: зубчатих, фрикційних, ланцюгових, клиноремених і тому подібне Для механічного ступінчастого регулювання швидкості використовують коробки передач, для плавного регулювання - фрикційні варіатори.

У кінематичну схему приводу шпинделя токарного верстата (рис. 1.3) введена клиноремена передача КРП і коробка передач КП для ступінчастого регулювання швидкості. Вихідний вал коробки передач пов'язаний зі шпинделем Ш шпинделем верстатазаготовка. В результаті взаємодії деталі, що обертається, з нерухомим різцем Р виникають зусилля різання і момент різання

_(1.15)

де М_z - момент різання; F_z - зусилля різання; r_з - радіус заготовки.

По вимогах технології обробка деталей ведеться в режимі незмінності потужності

_(1.16)

тому момент різання буде зворотньопропорційний швидкості ω_ро при її зміні, а механічна характеристика набирає вигляду гіперболи (див. рис. 1.3). Окрім корисного моменту М_ро = М_z, у всіх елементах кінематичного ланцюга діють сили тертя в підшипниках, в зубчатих зачепленнях та клиноременній передачі.

Рисунок 1.3 – Кінематична схема і механічна характеристика шпинделя токарного верстата

Таким чином, електропривод токарного станка є нереверсивним, з нелінійною залежністю швидкості від моменту, для узгодження швидкостей двигуна і робочого органу застосовані редуктор КП і клиноремена передача КРП.

У механізмі пересування візка мостового крана (рис. 1.4) момент на валу двигуна долає лише сили тертя. Двигун Д через редуктор Р обертає рушійну пару коліс візка, долаючи силу опору руху візка

_(1.17)

обумовлену тертям ковзання в підшипниках і тертям кочення коліс по рейках, де k₃ - коефіцієнт запасу; m - маса візка з вантажем; g - прискорення вільного падіння; - коефіцієнт тертя кочення; - коефіцієнт тертя ковзання; Мтрк - момент тертя кочення; Fтрс - сила тертя ковзання; Rk - радіуси колеса і шийки осі колеса.

Сила тертя Fро завжди направлена назустріч руху візка. Під реактивними силами розумітимемо такі сили, які при зміні напряму руху робочого органу змінюють свій знак. Значить, Fро – реактивна сила з формули (1.17) виходить, що модуль сили тертя не залежить від швидкості обертання робочого органу.

Рисунок 1.4 – Кінематична схема і механічна характеристика механізму пересування візка (з реактивним характером навантаження)

і вид механічної характеристики не враховують сухе тертя (спокою), декілька збільшуючі сили тертя при пуску механізма.

Таким чином, електропривод візка є реверсивним, з| постійним, незалежним від швидкості, моментом, знак якого змінюється при зміні напряму руху, тобто що носить реактивний характер. На відміну від механізму пересування момент опору руху механізму підйому створюється силою тяжкості підвішеного вантажу, причому її напрям не залежить від напряму руху вантажу. Під активними силами розумітимемо такі сили, які при зміні напряму руху робочого органу не міняють свій знак. Значить, сила тяжіння - активна сила

_(1.18)

Кінематична схема механізму підйому приведена на рис. 1.5. Двигун Д через редуктор Р обертає барабан Б, на якому намотаний трос з вантажем. На вантаж діє сила тяжіння, не залежна від швидкості.

Рисунок 1.5 – Кінематична схема і механічна характеристика механізму підйому (з активним характером навантаження)

Окрім сили тяжіння двигун долає сили тертя в підшипниках і зубчатих зачепленнях редуктора (пунктирні лінії на рис. 1.5 – з урахуванням Fро).

Таким чином, електропривод механізму підйому в цілому є реверсивним, з постійним, незалежним від швидкості, моментом, знак якого не змінюється при зміні напряму руху, тобто що носить активний характер.

Момент робочого органу носить активний характер, електропривод ліфта – реверсивний.

Таким чином, при різноманітті кінематичних схем робочого органу по відношенню до електроприводу вони володіють наступними особливостями:

- реверсивні або нереверсивні електроприводи;

- електроприводи редукторний або безредукторний;

- у електроприводі діють рушійні моменти і сили, моменти і сили опору руху робочого органу, а також моменти і сили тертя;

- моменти опору можуть бути постійні або можуть залежати від швидкості, кута повороту, часу;

- моменти опору можуть мати характер активний (енергія поступає від іншого джерела або є запас потенційної енергії) або реактивний (обумовлений силами тертя);

- при зміні напряму руху реактивні моменти опору руху миттєво змінюють знак, а активні моменти - знак не змінюють.

Приведення моментів опору руху до валу двигуна.

Критерієм приведення моментів опору руху до валу двигуна є енергетичний баланс реальної і розрахункової схем, що полягає в рівності енергій, витрачених на виконання певної роботи в реальній і розрахунковій схемах.

У ідеальному випадку за відсутності втрат потужності в передачі потужності робочого органу Рро дорівнює потужності на валу двигуна Рв:

_(1.19)

Розглянемо для прикладу механізм підйому (див. рис. 1.5). Для обертального руху барабана: - потужність на валу робочого органу

_(1.20)

- потужність на валу двигуна

_(1.21)

Підставивши рівняння, отримаємо момент опору руху, приведений до валу двигуна

_(1.22)

де - передавальне число редуктора.

Для поступальної ходи потужність на валу робочого органу

_(1.23)

тоді момент опору руху, приведений до валу двигуна

_(1.24)

де ρ - радіус приведення, м.

Приведення моментів інерції до валу двигуна.

Критерієм приведення є рівність запасу кінетичної енергії реальної і розрахункової схем електроприводу. Кінетична енергія реальної схеми дорівнює сумі кінетичесних енергій кожного елементу руху.

Для схеми механізму підйому (див. рис. 1.5) вираз кінетичній енергії Wкін для розрахункової і реальної схем можна записати у вигляді

_(1.25)

де J - момент інерції розрахункової схеми, приведений до валу двигуна;

Jдв, Jгш, J₂, J₃, J₄, J_Б - моменти інерції відповідно двигуна, гальмівного шківа, шестерень редуктора, барабана;

m - маса вантажу;

ω₁ - швидкість проміжного валу редуктора.

Поділивши праву і ліву частини рівняння на кутову чатоту обертання, набудемо значення моменту інерції J розрахункової схеми, приведеного до валу двигуна

_(1.26)

де i₁ - передавальне число до проміжного валу редуктора;

i₂ - передавальне число редуктора;

- радіус приведення від лінійної швидкості вантажу до валу двигуна.

У зв'язку зі складністю визначення моментів інерції елементів передачі, розрахунок моменту інерції, приведеного до валу двигуна, виконують по формулі

_(1.27)

де - приведений момент інерції передачі;

- приведений момент інерції елементу (барабана), що обертає, і поступально рухомого елементу (маси вантажу) робочого органу.

Радіус приведення ρ і приведений момент інерції Jпр можуть бути змінними величинами.

Механічна частина електроприводу з пружним зв'язком

До цих пір розглядалися механічні системи з ідеально жорсткими зв'язками. Практично жорсткості валів, сполучних муфт, передач (канати, ремені, вали в передачах і тому подібне) мають кінцеві|скінченні| значення, механічна система отримує декілька мір свободи, і в загальному випадку містить тіла, що піддаються крученню, вигину, розтягуванню і стискуванню.

Жорсткістю називатимемо коефіцієнт зв'язку Сk (Сл) між кутовою деформацією валу ∆φ (або лінійною деформацією ∆L) і пружним моментом Му, що виникає в пружному елементі (або пружною силою Fу). Розглядатимемо лінійний закон деформації (закон Гуку). В цьому випадку додаток пружного моменту не приводить до залишкових деформацій, а при знятті моменту на вході система повертається в початкове положення.

_(1.29)

_(1.30)

Коефіцієнти жорсткості Сk і Сл визначаються геометричними розміром пружного елементу і залежать від матеріалу, з якого він виготовлений. Для валу радіусом R при його крученні коефіцієнт жорсткості

_(1.31)

де момент інерції поперечного перетину валу;

G - модуль пружності зсуву;

L - довжина валу.

Для пружного стержня при його розтягуванні або стискуванні коефіцієнт жорсткості

_(1.32)

де L - довжина стержня;

Gs - площа поперечного перетину;

Е - модуль пружності.

Величину 1/С, зворотну жорсткості, називають податливістю. Фізично податливість визначає деформацію елементу під впливом пружного моменту, а коефіцієнт жорсткості - величину пружного моменту при певній деформації.

Таким чином, чим більше коефіцієнт жорсткості пружного елементу, тим менша деформація в ньому виникає.

Приведення пружності до валу двигуна

При складанні розрахункових схем механічної частини здійснюється приведення до валу двигуна коефіцієнта жорсткості пружного елементу. Критерієм приведення є рівність запасу потенційної енергії в реальній і розрахунковій схемах.

Для обертального руху потенційна енергія для приведеної і реальної ланки визначається по формулі

_(1.33)

тоді приведена жорсткість

_(1.34)

Для поступальної ходи потенційна енергія для приведеної і реальної ланки

_(1.35)

Приведення багатомасової пружної системи до двохмасової

Розглянемо пружну систему з одним пружним елементом - схему електроприводу вентилятора (рис. 1.6).

Рисунок 1.6 – Кінематична схема вентилятора

δJдв

Рисунок 1.7 – Чотирьохмасова пружна система

δJдв

Рисунок 1.8 – Розрахункова схема двохмасової пружної системи

За наявності пружних елементів не завжди вдається отримати одномасову розрахункову схему, і залежно від числа пружних елементів виходять багатомасові механічні системи - двохмасова, трьохмасова і так далі.

У кінематичній схемі вентилятора можна розглянути чотири масу з моментами інерції: ротора двигуна δJдв, напівмуфт J₁ і J₂ робочого колеса Jпр|, сполучені трьома пружними елементами: валом двигуна до напівмуфти жорсткістю С₁, пружною муфтою - С₂, валом вентилятора до робочого колеса - С₃. Отримали чотирьохмасову систему (рис. 1.6), в якій маси, що обертаються, сполучені відрізками, пропорційними податливостям валів.

Зазвичай багатомасову систему приводять до найбільш податливої ланки (у нашому випадку - С₂), маси, що при цьому обертаються, з малими моментами інерції приєднують до головних мас з набагато більшими моментами інерції. У схемі вентилятора віднесемо J₁ до δJдв, J2 - до Jпр і отримаємо двохмасову пружну систему (рис. 1.8). У розрахунковій схемі розглядаємо головні маси δJдв і Jпр. Еквівалентну жорсткість С₁₂ двохмасової пружної системи визначають через суму податливостей пружних елементів реальної схеми

_(1.36)

Головна маса δJдв обертається з швидкістю ω₁, до неї прикладений момент двигуна М і момент статичний ∆Мс. Головна маса Jпр обертається з швидкістю ω₂, до неї прикладений момент Мс. Розрізатимемо систему по пружному єлементу, у місці розрізі прикладемо пару моментів М₁₂. Моментом М₁₂ є момент пружної взаємодії між головними масами δJдв і Jпр.

Рівняння руху і структурна схема двохмасової пружної системи

Рух двохмасової пружної системи (ДПС) описується системою диференціальних рівнянь (рис.1.8):

_(1.37)

Перепишемо систему рівнянь в операторній формі

_(1.38)

За системою рівнянь будується структурна схема ДПС (рис. 1.9). Відмінність структурної схеми ДПС від схеми системи з ідеально жорсткими зв'язками полягає в тому, що головні маси розділені, між ними - інтегруюча ланка С₁₂/р, що представляє жорсткість.

Отримаємо передавальну функцію ДПС, для чого перетворимо структурну схему рис. 1.9. На рис. 1.10 приведена перетворена структурна схема, в якій зворотні зв'язки перенесені на вихід системи.

Jдв

Рисунок 1.9 – Структурна схема ДПС

Jдв

δJдв

Рисунок 1.10 – Перетворена структурна схема при ∆Моп=0, Моп=0 (за рекомендацією викладача)

Передавальна функція цієї схеми має вигляд

_(1.39)

Як видно з| рівняння, передавальна функція містить дві ланки:

- інтегруюча ланка з коефіцієнтом посилення - ця ланка представляє ідеально жорстку систему;

- консервативна ланка (коливальна ланка без демпфування коливань) з постійною часу Тк і частотою зрізу Ωк = Ω12:

_(1.40)

Передавальна функція консервативної ланки записується у вигляді

_(1.41)

При С₁₂=∞ постійна часу Тк = 0, частота зрізу Ω12=∞, передавальна функція пружної системи перетворюється на передавальну функцію ланки з ідеально жорсткими зв'язками.

При р=jΩ отримаємо амплітуду консервативної ланки дає модуль цього комплексного числа

_(1.42)

Неважко переконатися, що амплітуда консервативної ланки дорівнюватиме нескінченності А =∞ при Ω =1/Т_к.

Таким чином, при частоті зрізу консервативної ланки Ω12 наступає явище резонансу (цю частоту Ω12 = Ω_РЕЗ називають резонансною), ЛАЧХ цієї ланки терпить розрив. ЛАЧХ пружної системи приведена на рис. 1.11. Якщо обурення проходять з частотою Ω12, у пружній системі виникають резонансні коливання пружного моменту з амплітудою А = ∞.

Рисунок 1.11 – Частотна характеристика ДПС

При дії пружних коливань в елементі, що деформується, відбувається поглинання енергії коливань, оскільки при зміні швидкості змінюється і знак моменту, потужність втрат в елементі залишається позитивною.

Для обліку моменту в'язкого тертя до розрахункової і структурної схем ДПС вносять β12 (рис. 1.12).

δJдв

Рисунок 1.12 – ДПС з урахуванням елемента в'язкого тертя

Врахування внутрішнього в'язкого тертя дозволяє при найбільших β12 понизитимаксимум динамічного навантаження за рахунок природного затухання приблизно на 15%, що сумірно з точністю визначення параметрів системи. Тому при аналізі максимальних динамічних навантажень в перехідних процесах пуску і гальмування електроприводу природним демпфуванням можна нехтувати.

Перехідні процеси в двомасовій пружній системі із зазором

У механічному устаткуванні, що діє, разом з пружністю досить часто зустрічаються зазори в механічних передачах і зчленуваннях. У розрахунковій схемі (рис. 1.13) зазор розриває механічний ланцюг. Залежність М12 = f(ω1-ω2) стає нелінійною. Коли в процесі дії пружного моменту деформація елементу eн стає менше зазору eн3 в механічній передачі, пружний момент М12 стає рівним нулю, кінематичний ланцюг розривається. Система продовжує рух, наростає різниця швидкостей і після проходження зазору механічний ланцюг замикається. Наростаючий пружний момент створює удар в механічному ланцюзі.

Рисунок 1.13 – Розрахункова схема ДПС із зазором і залежність М12=f(∆φ)

Структурна схема ДПС із зазором і перехідний процес застосування момента М двигуна стрибком приведені на рис. 1.14, 1.15. Пропонується самостійно проаналізувати тимчасові діаграми координат пружної системи з зазором.

δJдв

Рисунок 1.14 – Структурна схема ДПС із зазором

Динамічні коливальні процеси в середньому не впливають на тривалість перехідних процесів, але негативно позначаються на умови виконання технологічних операцій, зокрема, в точності роботи установки.

Практично завжди виникнення пружних коливань збільшують динамічні навантаження механічного обладнання і його знос.

Рисунок 1.15 – Тимчасова діаграма моменту М₁₂, швидкостей ω₁ і ω₂ для ДПС із зазором

задачаПотрібно так проектувати електропривод, щоб знижувати викиди пружних моментів (зменшувати динамічний коефіцієнт), потрібно певним чином вибирати структуру електроприводу, його параметри (обмежувати прискорення, застосовувати систему вибірки зазорів і тому подібне).

Узагальнена структурна схема механічної частини електроприводу

В цілому механічна частина електроприводу - складний об'єкт управління (рис. 1.16) з істотними нелинейностями (зазор

δJдв

Рисунок 1.16 – Узагальнена структурана схема механічної частини електроприводу

Таблиця 1.1 – Вихідні дані до лабораторної роботи

Вихідні данні:
Номінальний момент
Вид навантаження (активний, реативний)
Кількість мас
Момент інерції J1
Момент інерції J2
Момент інерції J3
Момент інерції J4
Наявність зазору
Величина зазору, мм
Жорсткість з'вязку С1
Жорсткість з'вязку С2
Жорсткість з'вязку С3

Відповідно до отриманих даних виконати побудову структурну схему та налагодити її роботу. Будуємо динамічні характеристики Mс=f(t), Mс=f(t), ω=f(t), Mс=f(n), Mс=f(t)

Контрольні запитання:

1. Охарактеризувати моменти опору.

2. Поясніть вплив кожної складової опору від швидкості.

3. Додатково навести приклади присутніх видів моменту опору та надати аналітичні або графічні залежності.

4. Кількісно оцінити вплив складових моментів опору від швидкості руху.