9.5.3. Определение порядка аппроксимирующего полинома с помощью метода последовательных разностей

Для определения порядка аппроксимирующего полинома в указанных выше методах выделения тренда широко используется метод последовательных разностей членов анализируемого временного ряда. Метод основан на математическом факте³: если временной ряд y₁, y₂, ..., y_t, ..., y_n содержит в качестве своей неслучайной составляющей алгебраический полином f_t=a₀+a₁t+...+a_pt^p порядка р, то переход к последовательным разностям, повторенный р+1 раз (то есть переход к последовательным разностям порядка р+1), исключает неслучайную составляющую (включая константу a₀), оставляя элементы, выражающиеся только через остаточную случайную компоненту u(t). Алгоритм метода следующий. Последовательно для k=1,2,… вычисляем разности ^ky_t (t=1,2,…, n−k), а также величины

.

Анализируем поведение величины в зависимости от k. Величина будет убывать с ростом k. Начиная с некоторого k=p+1 величина стабилизируется, оставаясь приблизительно на одном уровне при дальнейшем росте k. Это значение k=k₀ и будет давать завышенный на единицу порядок сглаживающего полинома, то есть p= k₀−1.

При применении метода следует иметь в виду следующее. Сходимость не доказывает, что ряд первоначально состоял из полинома плюс случайный остаток. Это означает только то, что он может быть приближенно представлен таким образом.

9.5.4. Проверка адекватности и точности моделей временного ряда

Проверка соответствия модели реальному процессу строится на основе анализа временного ряда остатков, полученного после удаления неслучайной составляющей. Отметим, что в случае, когда временной ряд остатков обнаруживает некоторые закономерности, необходимо подбирать модель для остатков и тогда на предмет адекватности анализируется временной ряд финальной остаточной компоненты.

Временной ряд остатков получается как разность фактических и полученных по модели уровней (в случае аддитивной модели временного ряда): .

Временной ряд остатков должен представлять собой реализации значений случайной величины, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией и остатки не должны быть линейно зависимы друг от друга (автокоррелированы). Т.е. ряд остатков должен представлять собой белый шум (имеющий нормальное распределение).

Для проверки нормальности распределения остатков используют графический способ: построение гистограммы остатков с наложенной нормальной плотностью, позволяющей визуально оценить симметричность и близость к нормальному закону распределения; квантиль-квантильный график остатков в зависимости от ожидаемого нормального значения − остатки должны «лежать» на прямой ожидаемого нормального распределения. Также пакеты прикладных программ позволяют тестировать на нормальность с помощью критериев согласия Пирсона, Колмогорова-Смирнова, Шапиро-Уилка и др.

Тестирование на отсутствие в остатках автокорреляции удобно осуществлять с помощью статистики Бокса-Пирса или ее модификации − Льюнга-Бокса. Для проверки на автокорреляцию первого порядка может быть использован широко известный критерий Дарбина-Уотсона⁴.

Важнейшим показателем качества модели является ее точность, оцениваемая по значению ошибки, которая может быть получена либо как ошибка ретроспективного прогноза, либо как ошибка прогноза, полученного по контрольной части выборки; либо как разность между прогнозным и фактически реализовавшимся значением.

Для сравнения различных альтернативных прогнозов необходим показатель качества прогноза. Используются следующие меры качества построенных прогнозов.

Коэффициент несовпадения ретроспективного предсказания P_t с наблюдавшимися значениями A_t, предложенный Тейлом:

,

где  − горизонт прогнозирования.

Коэффициент легко вычисляется, и его значения принадлежат отрезку [0, 1], причем на концах отрезка он имеет следующую содержательную интерпретацию: при L=0 – отличное качество прогноза; при L=1 – плохое качество прогноза. Может применяться как в случае статистического, так и в случае качественного прогнозирования.

Среднеабсолютная процентная ошибка (Mean Absolute Percentage Error):

.

Показатель MAPE, как правило, используется для сравнения точности прогнозов разнородных объектов прогнозирования, поскольку он характеризует относительную точность прогноза.

Для прогнозов высокой точности MAPE<10%, хорошей − 10%<MAPE<20%, удовлетворительной − 20%<MAPE<50%, неудовлетворительной − MAPE>50%.

Целесообразно пропускать значения ряда, для которых y_t = 0.

Средняя процентная ошибка (Mean Percentage Error) и средняя ошибка (Mean Error). MPE характеризует относительную степень смещенности прогноза. При условии, что потери при прогнозировании, связанные с завышением фактического будущего значения, уравновешиваются занижением, идеальный прогноз должен быть несмещенным, и обе меры должны стремиться к нулю. Средняя процентная ошибка не определена при нулевых данных и не должна превышать 5%:

.

Абсолютное смещение характеризует средняя ошибка:

.

Средний квадрат ошибки (Mean Square Error) и сумма квадратов (Sum Square Error). Соответственно:

и .

Чаще всего MSE и SSE используются при выборе оптимального метода прогнозирования. В большинстве пакетов программ по прогнозированию именно эти два показателя принимаются в качестве критериев при оптимальном выборе параметров моделей. Часто также используется для проведения сравнительной оценки моделей средняя квадратическая ошибка:

,

причем в знаменателе может стоять величина (n−q), где q − число оцениваемых в модели параметров.