Напруження при плоскому поперечному згині
Нормальні напруження ( ) в будь-якій точці довільного поперечного перерізу балки визначають за формулою, отриманою Нав’є:
(4.2)
де М – згинаючий
момент в розглядуваному перерізі балки;
– ордината розглядуваної точки (відстань
від нейтральної лінії (осі
)
до точки, яка відкладається з урахуванням
знаку);
– осьовий момент інерції поперечного
перерізу відносно головної центральної
осі
.
Ця формула отримана для випадку чистого плоского згину, але в багатьох випадках придатна й для плоского поперечного згину (коли впливом поперечних сил на згинаючі моменти та деформації балки можна знехтувати).
З виразу
(4.2) видно, що знак
визначається знаками М та
,
що нормальні напруження по ширині
поперечного перерізу розподілені
рівномірно (
не залежить від
),
а по висоті нормальні напруження
змінюються за лінійним законом (законом
прямої лінії), зокрема, при y=0 вони
відсутні (звідси й назви – нейтральна
лінія в поперечному перерізі, нейтральний
шар балки). Найбільші нормальні напруження
виникають в крайніх точках перерізу,
найвіддаленіших від нейтральної лінії
(в небезпечних точках при
):
. (4.3)
Тут
– осьовий момент опору поперечного
перерізу балки (для прямокутного перерізу
,
де
-
ширина, а
- висота прямокутника; для кругового
перерізу
,
де
- діаметр перерізу; для прокатних
двотаврів і швелерів осьові моменти
опору наведені у відповідних таблицях
сортаменту й при раціональній орієнтації
перерізу балки
).
Для визначення дотичних напружень в будь-якій точці довільного поперечного перерізу балки застосовується формула Д.І. Журавського:
(4.4)
де
– поперечна сила в перерізі;
– статичний момент відсіченої частини
поперечного перерізу балки відносно
осі
,
тобто частини, що розташована по один
бік від точки, для якої визначається
дотичне напруження (береться абсолютне
значення статичного моменту; частина
перерізу відсікається лінією, паралельною
осі
);
– ширина перерізу в місці розташування
точки, в якій визначається дотичне
напруження;
–
осьовий момент інерції поперечного
перерізу відносно головної центральної
осі інерції
.
З виразу (4.4) видно, що знак визначається знаком , що дотичні напруження по ширині поперечного перерізу розподілені рівномірно ( не залежать від ).
Дотичні напруження по висоті перерізу змінюються за параболічним законом й для більшості видів перерізів досягають максимальних за абсолютним значенням величин на нейтральній лінії (в небезпечних точках при y=0):
(4.5)
де
– ширина перерізу при
;
– статичний момент однієї з частин
площі поперечного перерізу, яка
відсікається віссю
,
відносно цієї ж осі; у випадку бісиметричного
перерізу (двотавровий, прямокутний)
– це статичний момент половини площі
перерізу відносно осі
.
Для прокатних двотаврів і швелерів
.
Умови міцності при плоскому поперечному згині
Люба умова міцності записується для найбільш напружених точок балки (небезпечних точок небезпечного перерізу).
Згідно з (4.3), умова міцності за нормальними напруженнями записується так:
при розрахунку за методом допустимих напружень
, (4.6)
де
– основне допустиме нормальне напруження;
– найбільший згинаючий момент від дії
нормативних навантажень;
при розрахунку за методом граничних станів
,
(4.7)
де
– найбільший розрахунковий згинаючий
момент від дії розрахункових навантажень;
–
розрахунковий опір матеріалу балки
розтягу, стиску та згину;
– коефіцієнт умов роботи конструкції
(балки);
- розрахунковий згинаючий момент;
– згинаючі моменти від нормативних
навантажень, а
,
,…
– відповідні вищевказаним згинаючим
моментам коефіцієнти надійності за
навантаженнями.
Для сталі марки Ст.3 =200-240 МПа.
Згідно з (4.5), умова міцності балки за дотичними напруженнями записується так:
при розрахунку за методом допустимих напружень
(4.8)
де
– допустиме дотичне напруження;
– найбільше значення поперечної сили
від дії нормативних навантажень;
– ширина перерізу в місці розташування
небезпечних точок, тобто при
;
при розрахунку за методом граничних станів
(4.9)
де
– найбільша розрахункова поперечна
сила від дії розрахункових навантажень;
– розрахунковий опір зсуву матеріалу
балки;
– як і раніше, коефіцієнт умов роботи
конструкції (балки);
– розрахункова поперечна сила;
– поперечні сили від нормативних
навантажень.
Умова міцності балки за головними напруженнями, згідно з ІV (енергетичною) теорією міцності, записується так:
при розрахунку за методом допустимих напружень
, (4.10)
при розрахунку за методом граничних станів
, (4.11)
де
– допустиме нормальне напруження;
та
–
нормальні та дотичні напруження в
небезпечних точках небезпечного перерізу
балки для головних напружень, відповідно
від нормативних та розрахункових
навантажень;
–
розрахунковий опір матеріалу балки
розтягу, стиску та згину;
–
коефіцієнт умов роботи конструкції
(балки).
Небезпечні точки для головних напружень розташовані, як правило, у місцях різкої зміни ширини поперечного перерізу на рівні меншої ширини (наприклад, для двотавра – це точки на переході від стінки до полиці, що належать стінці, в яких одночасно виникають великі, досить близькі до максимальних, нормальні та дотичні напруження).