Средние величины
Основные понятия
Наиболее распространенной формой статистического показателя является средняя величина – обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.
Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, то есть замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений.
Важнейшее свойство средней величины – типичность средней – заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем без исключения единицам исследуемой совокупности, хотя значения признака отдельных единиц совокупности могут колебаться в ту или другую сторону под влиянием множества факторов.
Виды средних величин различаются прежде всего тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.
Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.
Общая формула средней арифметической простой (т.е. рассчитанной по несгруппированным данным):
По этой формуле вычисляются средние величины первичных признаков, если известны индивидуальные (отдельные) значения признака.
Средняя арифметическая взвешенная рассчитывается по сгруппированным данным по формуле:
Средняя квадратическая используется, когда при замене индивидуальных значений признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин.
Аналогично, если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, мы приходим к средней кубической величине, имеющей вид:
Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину, имеющую следующий вид:
Геометрическая средняя величина дает наиболее точный результат осреднения, если задача стоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения признака.
Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам Xi совокупности, а представлена как их произведение Xf, тогда применяется формула средней гармонической взвешенной, для получения которой обозначим Xf=w, откуда f=w/X, и, подставив эти обозначения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:
Т.о., средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда неизвестны действительные веса f, а известно w=Xf. В тех случаях, когда вес каждого варианта w=1, т.е. индивидуальные значения X встречаются по одному разу, применяется формула средней гармонической простой:
Все рассмотренные выше виды средних величин принадлежат к общему типу степенных (многомерных) средних, имеющему следующий вид:
При m = 1 получаем среднюю арифметическую;
при m = 2 – среднюю квадратическую;
при m = 3 – среднюю кубическую;
при m = 0 – среднюю геометрическую;
при m = –1 – среднюю гармоническую.
Чем выше показатель степени m, тем больше значение средней величины (если индивидуальные значения признака варьируют). В итоге, можно построить следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних: [1, 2]
