4.2 Расчет одностоечной опоры на прочность и устойчивость

На одностоечную деревянную опору (столб) АВ, представленную на рисунке 4.11, цилиндрической формы с диаметром «d_c» и высотой «h» в точке А действует горизонтальная сила «Т» и вертикальная сила «Р» (в одной плоскости с силой «Т»), отстоящая от оси опоры на расстояние «е». Заменив схему нагружения эквивалентной расчетной схемой, изображенной на рисунке 4.12, в которой «Т», «Р» и М= Р·е приведены к точке А опоры.

Рисунок 4.11 Рисунок 4.12

Произведем расчет грузоподъемности опоры в различных случаях нагружения.

а) На столб действует горизонтальная сила Т: требуется определить:

1) из расчета на прочность определить допускаемую силу [Т], если допускаемое нормальное напряжение дерева при изгибе [σ]= 12 МПа;

2) определить максимальный прогиб столба под действием силы [Т], если модуль упругости дерева Е = 10⁴ МПа;

б) На столб действует только осевая, центрально приложенная сила Р: требуется определить:

1) критическую силу Р_кр;

2) допускаемую силу [Р] из расчета на устойчивость, если основное допускаемое напряжение дерева при сжатии [σ]_сж= 12 МПа.

в) На столб действует только момент М: требуется определить из расчета на прочность допускаемое значение момента [М].

г) На столб действуют все силы – Т, Р, М. Приняв Т = 0,5 [Т], Р = 0,1 [Р], М = 0,2 [М], проверить прочность столба.

В данном случае необходимо произвести расчет грузоподъемности при различных простых видах нагружения и проверочный расчет прочности при сложном сопротивлении.

При замене Г-образной одностоечной опоры, представленную на рисунке 4.1, на эквивалентную, представленной на рисунке 4.2, мы получим стержень жестко защепленный в нижнем сечении и нагруженный в верхнем сечении горизонтальной силой Т, вертикальной силой Р и моментом пары сил . При совместном действии этих сил стержень испытывает изгиб со сжатием, при воздействии только вертикальной силы Р – сжатие, при воздействии только горизонтальной силы Т – плоский изгиб, при воздействии одного момента М – чистый изгиб.

При воздействии на столб одной лишь горизонтальной силы Т, ее значение определяют из условия прочности при изгибе по формуле (4.2).

Для определения перемещений поперечных сечений при изгибе существуют различные способы, в том числе метод Мора [9]. Метод Мора представляет собой универсальный способ определения линейных и угловых деформаций в любых плоских и пространственных системах, состоящих из шарнирно и жестко соединенных прямых и кривых брусьев.

Для определения линейного перемещения к системе, освобожденной от заданных нагрузок, в направлении искомого перемещения (в заданной точке) прикладывается безразмерная единичная сила. Аналогично, при определении углового перемещения в сечении, поворот которого требуется найти, прикладывается пара сил (в плоскости искомого поворота) с моментом, равным безразмерной единице. При плоском изгибе интеграл Мора имеет вид

(4.4)

где - искомое перемещение (линейное или угловое). Первый индекс К указывает точку и направление, в котором определяется перемещение, а второй – причину, вызывающую перемещение;

, - аналитические выражения изгибающих моментов, соответственно от заданной нагрузки и единичной силы (единичного момента).

При вычислении интеграла Мора протяженность каждого участка при постоянной жесткости сечения , определяется областью, в пределах которой закон изменения как «грузового», так и «единичного» моментов остается постоянным.

При воздействии на столб только силы Р прямолинейная форма равновесия центрально-сжатого стержня устойчива до тех пор, пока сжимающая сила Р не достигнет критического значения.

Критической силой называется наименьшее значение сжимающей продольной силы, при котором прямолинейная форма стержня перестает быть устойчивой.

При потере устойчивости в упругой стадии работы стержня критическая сила вычисляется по формуле Эйлера

(4.5)

где Е – модуль продольной упругости материала стержня;

- минимальный главный центральный момент инерции поперечного сечения;

- длина стержня;

- коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня. При жестком закреплении стержня с одной стороны .

Практически переход сжимающей силы за критическое значение, производящий к продольному изгибу стержня, равносилен выходу стержня из строя. Поэтому допускаемая нагрузка должна быть обязательно меньше критической, так как продольный изгиб стержня недопустим.

Допустимую сжимающую силу определяют из условия устойчивости

(4.6)

где А – площадь поперечного сечения;

- допустимое нормальное напряжение материала;

- коэффициент продольного изгиба, определяется в зависимости от материала и гибкости стержня.

При воздействии на столб только момента , его допустимое значение определяют из условия прочности при изгибе по формуле (4.2).

При совместном действии на столб сил Т, Р и момента пары сил М стержень подвергается совместному действию изгиба в плоскости действия сил Т и Р со сжатием. В опасной точке наиболее загруженного сечения (в защемлении) нормальное напряжение определяется по формуле

(4.7)

где - изгибающий момент в защемлении при совместном действии силы Т и момента М;

- продольная сила, равная Р;

А - площадь поперечного сечения столба;

- осевой момент сопротивления поперечного сечения столба.

Расчет на прочность при изгибе со сжатием проводят по нормальным напряжениям, так как касательные напряжения, вызванные поперечной силой , незначительны.

Условие прочности при изгибе со сжатием

. (4.8)