Контрольна робота №1

1. Знайти невизначені інтеграли.

1. 

.

2. 

.

3. 

.

4. 

.

5. 

.

6. 

.

7. 

.

8. 

.

9. 

.

10. 

.

11. 

.

12. 

.

13. 

.

14. 

.

15. 

.

16. 

.

17. 

.

18. 

.

19. 

.

20. 

.

21. 

.

22. 

.

23. 

.

24. 

.

25. 

.

26. 

.

27. 

.

28. 

.

29. 

.

30. 

.

31. 

.

32. 

.

2. Обчислити визначені інтеграли:

1. а) . б) .

2. а) . б) .

3. а) . б) .

4. а) . б) .

5. а) . б) .

6. а) . б) .

7. а) . б) .

8. а) . б) .

9. а) . б) .

10. а) . б) .

11. а) . б) .

12. а) . б) .

13. а) . б) .

14. а) б) .

15. а) . б) .

16. а) . б) .

17. а) . б) .

18. а) . б) .

19. а) . б) .

20. а) . б) .

21. а) . б) .

22. а) . б) .

23. а) . б) .

24. а) . б) .

25. а) . б) .

26. а) . б) .

27. а) . б) .

28. а) . б) .

29. а) . б). .

30. а). . б) .

31. а) . б) .

32. а). б) .

3. Обчислити невласний інтеграл або довести його розбіжність.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) ;

4. Застосування визначеного інтеграла до геометрії

1. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

2. Обчислити об’єм тіла, яке утворюється обертанням навколо осі 0y фігури, обмеженої параболами і .

3. Обчислити об’єм тіла, яке утворюється обертанням навколо осі 0y фігури, обмеженої параболами і .

4. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями , і прямою .

5. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями , і віссю абсцис.

6. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

7. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, яка обмежена лініями і .

8. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

9. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі ординат фігури, яка обмежена параболами і .

10. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і віссю абсцис.

11. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, яка обмежена гіперболою , прямими , і віссю абсцис.

12. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі 0x плоскої фігури, яка обмежена віссю абсцис і параболою .

13. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі 0x фігури, яка обмежена параболою , прямою і віссю 0x.

14. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі 0y фігури, яка обмежена гіперболою , віссю 0y і прямими і .

15. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

16. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

17. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

18. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

19. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і .

20. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і .

21. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і .

22. Обчислити площу фігури, обмеженої прямою і параболою .

23. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

24. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

25. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

26. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями і .

27. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

28. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

29. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

30. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою і прямою .

31. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, яка обмежена лініями і .

32. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, яка обмежена параболами і .

5. Знайти частинні похідні функції z=f(x,y).

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) .

6. Задано функцію z=f(x,y) і дві точки: A(x₀; y₀) і B(x₁; y₁).

Обчислити:

а) значення функції в точці В;

б) наближене значення функції в точці В, виходячи зі значення її в точці А і замінивши приріст функції при переході від точки А до точки В диференціалом;

в) відносну похибку, обумовлену заміною приросту функції диференціалом.

1. ; A(1; 2); B(1,02; 1,96);

2. ; A(1; 3); B(1,06; 2,92);

3. ; A(4; 1); B(3,96; 1,03);

4. ; A(2; 3); B(2,02; 2,97);

5. ; A(2; 1); B(1,96; 1,04);

6. ; A(2; 4); B(1,98; 3,91);

7. ; A(-1; 3); B(-0,98; 2,97);

8. ; A(3; 2); B(3,05; 1,98);

9. ; A(3; 4); B(3,04; 3,95);

10. ; A(1; 2); B(0,97; 2,03);

11. ; A(2; 1); B(1,98; 1,03);

12. ; A(1; 2); B(1,02; 1,91);

13. ; A(-1; 1); B(-0,98; 0,97);

14. ; A(1; -1); B(1,02; -0,97);

15. ; A(1; 1); B(1,03; 0,98);

16. ; A(2; -1); B(1,98; -0,97);

17. ; A(-2; 1); B(-1,97; 0,98);

18. ; A(-1; 2); B(-0,98; 1,97);

19. ; A(2; -1); B(1,97; -1,02);

20. ; A(1; -2); B(1,03; -2,02);

21. ; A(2; 1); B(2,03; 0,96);

22. ; A(-2; 2); B(-2,02; 2,05);

23. ; A(1; 3); B(0,95; 2,94);

24. ; A(1; 3); B(0,96; 2,95);

25. ; A(2; 2); B(1,93; 2,05);

26. ; A(1; 3); B(1,07; 2,94);

27. ; A(1,5; 2,3); B(1,43; 2,35);

28. ; A(-4; 5); B(-3,92; 5,06);

29. ; A(1; -3); B(1,08; -2,94);

30. ; A(1; 2); B(1,03; 1,97);

31. ; A(-1; 2); B(-0,97; 2,01);

32. ; A(1; 3); B(0,98; 2,95).

7. Знайти: а) градієнт функції z=f(x,y) у точці А;

б) похідну функції z=f(x,y) у точці А

за напрямком вектора .

1. ; A(1; 1); (2; -1);

2. ; A(2; 1); (3; -4);

3. ; A(1; 1); (3; 2);

4. ; A(1; 1); (2; -1);

5. ; A(2; 1); (1; 2);

6. ; A(2; 3); (4; -3);

7. ; A(1; 2); (5; -12);

8. ; A(1; 3); (2; -1);

9. ; A(-1; 2); (4; -3);

10. ; A(1; 1); (2; 1);

11. ; A(-1; 2); (3; 4);

12. ; A(-1; 1); (1; -1);

13. ; A(1; 3); (-5; 12);

14. ; A(2; 2); (2; -3);

15. ; A(1; 1); (6; -8);

16. ; A(3; 4); (-3; -4);

17. ; A(2; 3); (4; 3);

18. ; A(1; 2); (3; -4);

19. ; A(1; -2); (1; 2);

20. ; A(1; 1); (2; -1);

21. ; A(-1; 2); (3; 1);

22. ; A(2; -2); (-2; 5);

23. ; A(1; 3); (8; -6);

24. ; A(3; -2); (3; 4);

25. ; A(1; 4); (-5; 12);

26. ; A(1; -1); (-1; 1);

27. ; A( -2; 4); (4; 3);

28. ; A(4; 3); (2; -1);

29. ; A(2; 1); (2; 2);

30. ; A(-2; 2); (-6; 8);

31. ; A(1; 2); (-3; 4);

32. ; A(-2; 1); (3; 2).