Шуканий об’єм знаходимо за формулою

Для обчислення другого інтегралу використовуємо підстановку Тоді і Звідси

3. Знайти площу фігури, обмеженої кривими заданими в полярних координатах:

Рис. 6

Розв’язування.

Задана фігура обмежена двома променями і кривою

Її площа дорівнює

Завдання 5-6.

Нехай

При обчисленні частинної похідної змінну у розглядаємо як сталу величину. Користуючись правилами диференціювання функцій одного аргументу і правилом диференціювання складеної функції, отримуємо

Аналогічно обчислюємо . Вважаючи х сталою величиною, отримуємо

Завдання 7.

Нехай задано функцію . Знайдемо градієнт і похідну цієї функції в точці в напрямку вектора .

Для цього обчислимо частинні похідні функції

Обчислюємо значення цих похідних в точці :

Градієнт grad u функції u(x, y) обчислюється за формулою

Таким чином,

Похідна в напрямку вектора обчислюється за формулою

де

, ; .

Отримуємо:

Завдання 8.

Знайти загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

Розв’язування. Права частина рівняння має властивість Тому задане рівняння є однорідним диференціальним рівнянням першого порядку. Виконаємо заміну , де – деяка функція від аргументу х. Звідси . Вихідне рівняння приймає вигляд:

Продовжуємо перетворення:

Відокремлюємо змінні:

Після інтегрування обох частин рівняння отримуємо

Таким чином,

Потенціюючи, знаходимо

або

Остаточно, загальний інтеграл вихідного рівняння набуває вигляду:

де С – довільна стала.

Завдання 9.

Розв’язати рівняння .

Розв’язування.

Маємо рівняння виду . Поклавши

, дістанемо або .

Це рівняння розпадається на два:

.

З першого маємо , звідки . У другому рівнянні відокремлюються змінні:

.

Оскільки , то .

Замінивши на , на , знайдемо другий розв’язок даного рівняння: .

Отже, задане рівняння має розв’язки

та .

Завдання 10.

Знайти загальний розв’язок неоднорідного диференціального рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

, ,

Розв’язування.

Знайдемо загальний розв’язок однорідного рівняння з тими ж коефіцієнтами, що і в лівій частині заданого рівняння:

Для цього складаємо характеристичне рівняння і знаходимо його корені.

,

.

Так як корені характеристичного рівняння є дійсними і різними, то загальний розв’язок однорідного рівняння записується у вигляді

де – довільні сталі.

Підбираємо тепер частинний розв’язок заданого неоднорідного рівняння у вигляді (врахуємо що є корінь характеристичного рівняння)

Звідси

Підставляємо у вихідне рівняння і скоротивши всі доданки на множник , отримуємо

або після спрощення

Звідси отримуємо рівності тобто

Таким чином, загальний розв’язок заданого неоднорідного диференціального рівняння має вигляд

Знайдемо частинний розв’язок, який задовольняє задані початкові умови. Продиференціюємо загальний розв’язок:

.

Підставивши в загальний розв’язок і його похідну початкові умови , , дістаємо систему рівнянь

,

Звідки . Отже,

- шуканий розв’язок.

Завдання 11.

Нехай задано систему лінійних диференціальних рівнянь першого порядку .

Продиференціюємо перше рівняння Із другого рівняння підставимо , отримаємо значення у візьмемо із першого рівняння, тобто , тоді або тобто отримали лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку. Записуємо і розв’язуємо його характеристичне рівняння , , . Тобто загальний розв’язок має вигляд: . Оскільки , знайдемо . Тоді . Отже, розв’язок системи має вигляд .